Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.
Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl mit der kleinsten zu gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus von auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von an der Stelle bezeichnet man mit , das heißt, ist die -te unendliche Kardinalzahl.
Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:
Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als , ist , und so weiter. Die Frage, ob gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.
Allgemein ist eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.
Üblicherweise bezeichnet die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als geschrieben werden.
Es gilt stets für alle Ordinalzahlen . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen , für die gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge , der informal als dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.