Allen-Cahn-Gleichung
Sei
eine offene Menge,
eine beliebige Initialfunktion,
und 
zwei Konstanten.
Gesucht ist eine Lösungsfunktion ![{\displaystyle v(x,t):\Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138bdc13cdbc1d322fd8abaa2ac283a8cc8b0d06)
, welche die Allen-Cahn-Gleichung
![{\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v=-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}f(v),\quad \Omega \times [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cce9fec793ef2dbfe6004398e8ca6d4923e84e)
löst, wobei
der Laplace-Operator nach 
ist,
die Ableitung für ein nicht-negatives 
mit zwei Minima 
ist.
Häufig verwendet man folgende Initialbedingung mit der Neumann-Randbedingung
![{\displaystyle {\begin{cases}v(x,0)=v_{0}(x),&\Omega \times \{0\}\\\partial _{n}v=0,&\partial \Omega \times [0,T]\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d476d9cac5f2e076e6e7743aee68a8b458ab053b)
wobei 
die Normalenableitung 
(und 
die äußere Normale) ist.
ist ein Energiepotential, häufig wählt man dafür die Funktion
dann schreibt sich die Allen-Cahn-Gleichung als
![{\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\left(v^{3}-v\right),\quad \Omega \times [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff511aaa9371638d127edae28792149e358571d6)
Herleitung
Betrachte das Freie-Energie-Funktional
![{\displaystyle E_{\varepsilon }[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}F(v)\right)dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14652973714a35142ba61ffd4141e939a457f473)
dann erhält man die Allen-Cahn-Gleichung, wenn man den 
-Gradientenfluss des Funktionals berechnet, das bedeutet man berechnet die Gleichung
![{\displaystyle \partial _{t}v=-{\frac {\delta E_{\varepsilon }[v]}{\delta v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28657c460383c49cab9a39259c5c68171ef77b8b)
wobei wir rechts die Funktionalableitung genommen haben.