Artinscher Modul

Definition

Ein Modul ${\displaystyle M}$ über einem Ring ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle 1}$ heißt artinsch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• Jede nichtleere Menge von ${\displaystyle R}$-Untermoduln von ${\displaystyle M}$ hat ein minimales Element bezüglich Inklusion.
• Jede absteigende Folge von Untermoduln wird stationär, d. h., in jeder Kette ${\displaystyle M_{1}\supseteq M_{2}\supseteq M_{3}\supseteq \dotsb }$ gibt es einen Index ${\displaystyle n}$, so dass für alle ${\displaystyle i>n}$ gilt: ${\displaystyle M_{i}=M_{n}}$.
• Für jede Familie ${\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}}$ von Untermoduln existiert eine endliche Teilmenge ${\displaystyle I_{0}}$ von ${\displaystyle I}$, so dass gilt: ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}M_{i}=\bigcap _{i\in I_{0}}M_{i}}$

Beispiele

• Jeder endliche Modul ist artinsch.
• Jeder endlich erzeugte Modul über einem artinschen Ring ist artinsch.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist kein artinscher ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul.
• Eine endliche direkte Summe artinscher Moduln ist artinsch.
• Ist ${\displaystyle R}$ eine (assoziative) Algebra über einem Körper ${\displaystyle K}$, und hat ein ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ endliche ${\displaystyle K}$-Dimension, so ist ${\displaystyle M}$ artinsch. Beispielsweise sind die Ringe ${\displaystyle K\times K}$ und ${\displaystyle K[T]/(T^{n})}$ artinsch.
• Die Prüfergruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]{\Big /}\mathbb {Z} }$ als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ist artinsch, jedoch nicht ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]}$.

Eigenschaften

• Jeder injektive Endomorphismus eines artinschen Moduls ist ein Automorphismus.
• Für eine exakte Sequenz von Moduln ${\displaystyle 0\rightarrow M_{1}\rightarrow M_{2}\rightarrow M_{3}\rightarrow 0}$ sind äquivalent:
  1. ${\displaystyle M_{2}}$ ist artinsch,
  2. ${\displaystyle M_{1},M_{3}}$ sind artinsch.
• Für einen (Links-)Modul ${\displaystyle M}$ über einem (links-)artinschen Ring ${\displaystyle R}$ sind äquivalent:
  • M ist (links-)artinsch,
  • M ist (links-)noethersch,
  • M ist endlich erzeugt.

Definition

Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt linksartinsch, wenn ${\displaystyle R}$ artinsch als ${\displaystyle R}$-Linksmodul ist.

Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt rechtsartinsch, wenn ${\displaystyle R}$ artinsch als ${\displaystyle R}$-Rechtsmodul ist.

Ein Ring ${\displaystyle R}$ heißt artinsch, wenn ${\displaystyle R}$ links- und rechtsartinsch ist.

(Man beachte: Die Untermoduln sind dann gerade die (Links- / Rechts-)Ideale.)

Beispiele

• Körper sind artinsch.
• Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle R}$ eine endlich erzeugte ${\displaystyle K}$-Algebra , dann ist ${\displaystyle R}$ ein artinscher Ring genau dann, wenn ${\displaystyle \dim _{K}(R)<\infty }$.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{pmatrix}}}$ ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbb {Q} &\mathbb {R} \\0&\mathbb {R} \end{pmatrix}}}$ ist rechtsartinsch, aber nicht linksartinsch.

Eigenschaften

• Ein artinscher Ring ist noethersch.
• Jeder injektive Endomorphismus ist ein Automorphismus.
• Genauer ist ein kommutativer Ring mit Einselement genau dann artinsch, wenn er noethersch und nulldimensional ist (also wenn jedes Primideal ein maximales Ideal ist).
• Ein artinscher Integritätsring ist bereits ein Körper. Es gilt sogar folgende stärkere Aussage: Ein Integritätsring, der die absteigende Kettenbedingung für Hauptideale erfüllt, ist ein Körper.
• Ist in einem Ring das Nullideal Produkt maximaler Ideale, so ist der Ring genau dann artinsch, wenn er noethersch ist.
• In einem artinschen Ring existieren nur endlich viele maximale Ideale (und damit nur endlich viele Primideale).
• In einem artinschen Ring ist das Nilradikal nilpotent.
• Jeder artinsche Ring ist endliches Produkt artinscher lokaler Ringe.