Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq R}$ Primideal oder prim, falls ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ echt ist, also ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq R}$, und wenn für alle Ideale ${\displaystyle {\mathfrak {a,b}}\subseteq R}$ gilt:

Aus ${\displaystyle {\mathfrak {ab}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ folgt ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ oder ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}.}$

Außerdem heißt ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ echt ist und wenn für alle ${\displaystyle a,b\in R}$ gilt:

Aus ${\displaystyle ab\in {\mathfrak {p}}}$ folgt ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}}$ oder ${\displaystyle b\in {\mathfrak {p}}.}$

Eigenschaften

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen ${\displaystyle R}$ mit Einselement gilt:

• Ein Element ${\displaystyle p\in R\backslash \left\{0\right\}}$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von ${\displaystyle p}$ erzeugte Hauptideal ${\displaystyle (p)}$ ein Primideal ist.
• Ein Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ist genau dann prim, wenn der Faktorring ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ein Integritätsring ist.
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {a}}_{n}}$ von endlich vielen Idealen von ${\displaystyle R}$, so enthält es auch eines der Ideale ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$.
• Ein Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, worunter man den Ring ${\displaystyle S^{-1}R}$ versteht, den man auch als ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ schreibt.

Beispiele

• Die Menge ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Im Ring ${\displaystyle R=2\mathbb {Z} }$ ist das maximale Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=4\mathbb {Z} }$ kein Primideal.
• Ein maximales Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subseteq R}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist genau dann prim, wenn ${\displaystyle RR\nsubseteq {\mathfrak {m}}}$. Insbesondere ist ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ prim, falls ${\displaystyle R}$ ein Einselement enthält.
• Das Nullideal ${\displaystyle (0)\subset R}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn ${\displaystyle R}$ ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
• Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) ${\displaystyle n\times n}$-Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Lying Over und Going Down

Im Folgenden sei stets ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle R\subset S}$ eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ein Primideal ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset S}$, so dass ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ liegt, d. h.

${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R}$.

In diesem Fall sagt man auch, dass ${\displaystyle S/R}$ die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem ${\displaystyle f\colon R\hookrightarrow S}$ eine Einbettung von ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle S}$, so ist die von ${\displaystyle f}$ induzierte Abbildung ${\displaystyle f^{*}\!\colon \,\mathrm {Spec} (S)\longrightarrow \mathrm {Spec} (R)}$ mit ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\longmapsto f^{-1}({\mathfrak {q}})}$ surjektiv.

Des Weiteren erfüllt ${\displaystyle S/R}$ die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

eine Kette von Primidealen in ${\displaystyle R}$ und

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

eine Kette von Primidealen in ${\displaystyle S}$ mit ${\displaystyle m<n}$, so dass außerdem ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ liegt für alle ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$, so lässt sich letztere zu einer Kette

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

ergänzen, so dass jedes ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ über ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn ${\displaystyle R,S}$ Integritätsringe sind und ${\displaystyle R}$ ganzabgeschlossen ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
2. ↑ K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
3. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5