Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ ein Ring und ${\displaystyle I}$ ein (beidseitiges) Ideal von ${\displaystyle R}$, dann bildet die Menge ${\displaystyle R/I=\left\{a+I\mid a\in R\right\}}$ der Äquivalenzklassen modulo ${\displaystyle I}$ mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I):=(a+b)+I}$
• ${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I):=a\cdot b+I,}$

wobei ${\displaystyle (a+I)}$ definiert ist als ${\displaystyle \{a+r\,|\,r\in I\}}$.

Diesen Ring nennt man den Faktorring ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$ oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele

• Die Menge ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ aller ganzzahligen Vielfachen von ${\displaystyle n}$ ist ein Ideal in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, und der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ist der Restklassenring modulo ${\displaystyle n}$.

• Ist ${\displaystyle f\in R[X]}$ ein Polynom über einem kommutativen unitären Ring ${\displaystyle R}$, dann ist die Menge ${\displaystyle R[X]\cdot f=(f)}$ aller Polynom-Vielfachen von ${\displaystyle f}$ ein Ideal im Polynomring ${\displaystyle R[X]}$, und ${\displaystyle R[X]/(f)=\left\{g+(f)\mid g\in R[X]\right\}}$ ist der Faktorring ${\displaystyle R[X]}$ modulo ${\displaystyle f}$.

• Betrachten wir das Polynom ${\displaystyle f=X^{2}+1}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen, so ist der Faktorring ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(f)}$ isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle X}$ entspricht dabei der imaginären Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$.

Rechenbeispiele:

Das Polynom ${\displaystyle X^{2}}$ liegt wegen ${\displaystyle X^{2}=f-1}$ in derselben Äquivalenzklasse modulo ${\displaystyle f}$ wie ${\displaystyle -1}$.

Für das Produkt ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]}$ ermitteln wir ${\displaystyle [X+1]\cdot [X+2]=[(X+1)\cdot (X+2)]=[X^{2}+3X+2]=[3X+1]}$

• Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle p}$ Primzahl.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}$ genau dann ein Primideal, wenn ${\displaystyle R/I}$ ein Integritätsring ist.
• Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal ${\displaystyle I}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn ${\displaystyle R/I}$ ein Körper ist.
• Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle f}$ ein irreduzibles Polynom über ${\displaystyle K}$, dann ist ${\displaystyle (f)}$ ein maximales Ideal in ${\displaystyle K[X]}$ und deshalb ist ${\displaystyle L\colon =K[X]/(f)}$ ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von ${\displaystyle K}$, in dem ${\displaystyle f}$ eine Nullstelle hat (die Restklasse von ${\displaystyle X}$). Die Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von ${\displaystyle f}$ überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über ${\displaystyle L}$ nicht-linearen irreduziblen Teilern von ${\displaystyle f}$, so erhält man schließlich einen Körper, in dem ${\displaystyle f}$ in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von ${\displaystyle f}$.

Idealtheorie

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Einselement und ${\displaystyle I\subseteq R}$ ein Ideal. Dann sind

• die Ideale des Rings ${\displaystyle R/I}$ genau die Ideale ${\displaystyle J}$ von ${\displaystyle R}$, die ${\displaystyle I}$ enthalten (also ${\displaystyle I\subseteq J}$ )
• die Primideale des Rings ${\displaystyle R/I}$ genau die Primideale von ${\displaystyle R}$, die ${\displaystyle I}$ enthalten
• die Maximalideale des Rings ${\displaystyle R/I}$ genau die Maximalideale von ${\displaystyle R}$, die ${\displaystyle I}$ enthalten

Bemerkung

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur

• Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"