Axonometrie

Kavalierprojektion, Kabinettprojektion

• Bildebene parallel zur yz-Ebene, d. h.
  • ${\displaystyle \beta =90^{\circ }}$ und
  • ${\displaystyle v_{y}=v_{z}=1}$.
• Bemerkung: In der Literatur werden die Begriffe Kavalierperspektive und Kabinettperspektive nicht einheitlich definiert. Die obige Definition ist die allgemeinste. Oft werden weitere Beschränkungen gefordert:
  • Kabinettprojektion: zusätzlich ${\displaystyle \alpha =\gamma =135^{\circ }}$ und ${\displaystyle v_{x}=0{,}5}$ (Dimetrie),
  • Kavalierprojektion: zusätzlich ${\displaystyle \alpha =\gamma =135^{\circ }}$ und ${\displaystyle v_{x}=1}$ (Isometrie).

Vogelperspektive, Militärprojektion

• Bildebene parallel zur xy-Ebene, d. h.
  • ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ und
  • ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=1}$ (Dimetrie).
• Für die Militärprojektion gilt zusätzlich: ${\displaystyle v_{z}=1}$ (Isometrie).

Solche Axonometrien werden bei Stadtplänen verwendet, um Maßstabgerechtigkeit (horizontal) und Anschaulichkeit von Gebäuden zu erreichen.

Ingenieur-Axonometrie (Ingenieurperspektive)

Bei einer Ingenieur-Axonometrie nach ISO 5456-3:1996(E) sind die Verzerrungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=0.5\\v_{y}=v_{z}&=1\end{aligned}}}$ (dimetrische Axonometrie)

Die Achsen sind wie folgt ausgerichtet:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =\gamma &=132^{\circ }\\\beta &=97^{\circ }\end{aligned}}}$ (oder auch 7° und 42° zur Waagerechten)

Vorteile der Ingenieur-Axonometrie sind:

• einfache Verzerrungen,
• fast eine senkrechte Axonometrie (gute Bildwirkung, der Skalierungsfaktor ist 1,06),
• der Umriss einer Kugel ist ein Kreis (ansonsten ist er eine Ellipse).

Isometrische Axonometrie

(Man beachte die Mehrfachbedeutung des Ausdrucks Isometrie in der Mathematik.)

Bei der isometrischen Axonometrie, kurz: Isometrie, sind die Verzerrungen alle gleich. Die Winkel zwischen den Achsen-Bildern können noch frei gewählt werden.

Bei der als Standard-Isometrie bezeichneten Darstellung gilt folgendes:

• ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$ (alle Achsen unverzerrt)
• ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =120^{\circ }}$, wobei die ${\displaystyle {\overline {z}}}$-Achse senkrecht ist

Die Vorteile dieser Parameterwahl sind:

• Die Koordinaten können unverändert übernommen werden,
• Das axonometrische Bild ist eine um den Faktor ${\displaystyle {\sqrt {1{,}5}}=1{,}225}$ skalierte Orthogonalprojektion (senkrechte Parallelprojektion). Daraus resultiert eine gute Bildwirkung und der Umriss einer Kugel ist ein Kreis.
• Zeichensysteme, wie z. B. xfig, bieten ein Dreiecksraster, um das Zeichnen von Objekten mit achsenparallelen Kanten zu erleichtern.

Die „Nachteile“ sind:

• Ein Schönheitsfehler aufgrund der Symmetrie ist, dass zwei der 8 Eckpunkte eines achsenparallelen Würfels zusammenfallen (siehe Bild „Würfel mit isometrischer Axonometrie“).

Überblick über die speziellen Axonometrien

Bei einer allgemeinen Axonometrie können die zwei Winkel ${\displaystyle 0<\alpha ,\beta }$ zwischen den Achsen und die Verzerrungen ${\displaystyle 0<v_{x},v_{y},v_{z}}$ (fast) frei gewählt werden. Damit alle drei Achsenbilder nicht auf einer Geraden liegen, muss ${\displaystyle 0<\alpha +\beta <360^{\circ }}$ sein. Diese Beschränkung für die Wahl der Winkel garantiert eine Ansicht von schräg oben. Die Beschränkung ${\displaystyle 360<\alpha +\beta <720^{\circ }}$ liefert Ansichten von schräg unten . Sie vertauscht die übliche Orientierung von der x-Achse zu der y-Achse. Negative Verzerrungen würden die übliche Orientierung der Achsen verändern.

Beispiele

1. Die oben eingeführten Verzerrungen ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$ und Winkel ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ führen umgehend auf die Abbildungsmatrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-v_{x}\sin \alpha &v_{y}\sin \beta &0\\v_{x}\cos \alpha &v_{y}\cos \beta &v_{z}\end{pmatrix}};}$

dabei wird angenommen, dass die ${\displaystyle y'{\text{-}}}$Achse ebenso wie die ${\displaystyle {\overline {z}}{\text{-}}}$Bildachse nach oben und die ${\displaystyle x'{\text{-}}}$Achse nach rechts zeigt.

2. Speziell für ${\displaystyle v_{x}=v_{y}=v_{z}=1}$ und ${\displaystyle \alpha =\beta =120^{\circ }}$ ergibt sich die Standard-Isometrie mit der Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&1\end{pmatrix}}.}$

Bei ihr wird etwa die Ecke ${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$ des Einheitswürfels auf ${\displaystyle f(p)=A\!\ p=(0,0)^{\mathsf {T}}}$ abgebildet, ebenso wie die gegenüberliegende Ecke ${\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}}}$ (mit ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$ wird die Transponierung bezeichnet). Wie oben erwähnt, ist die Standard-Isometrie eine um den Faktor ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3/2}}}$ skalierte orthogonale Axonometrie.

3. Wird also die letzte Matrix mit dem Kehrwert ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2/3}}}$ multipliziert, so ergibt sich die Abbildungsmatrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$

einer orthogonalen Axonometrie. Übrigens sind bei ihrer Transponierten ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$ beide Spalten

${\displaystyle e_{x}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\[0.3ex]0\end{pmatrix}},\quad e_{y}'={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{pmatrix}}}$

orthonormal, d. h. es gilt ${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{y}'=0}$ und ${\displaystyle e_{x}'\cdot e_{x}'=e_{y}'\cdot e_{y}'=1.}$ Das charakterisiert orthogonale Axonometrien, wie sich im Folgenden beispielhaft zeigt.

4. Nun wird umgekehrt eine weitere orthogonale Axonometrie mithilfe der orthonormalen Vektoren

${\displaystyle e_{x}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}6\\-3\\-2\end{pmatrix}},\quad }$${\displaystyle e_{y}'={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}}$

konstruiert. Diese beiden bestimmen zusammen mit ${\displaystyle e_{z}'=e_{x}'\times e_{y}'}$ und ${\displaystyle O}$ ein weiteres kartesisches Koordinatensystem im Raum. Ein allgemeiner Raumpunkt ${\displaystyle P}$ hat jetzt noch einen weiteren Koordinatenvektor ${\displaystyle p'=(x',y',z')^{\mathsf {T}}}$ neben ${\displaystyle p=(x,y,z)^{\mathsf {T}}.}$ Dabei gilt stets ${\displaystyle E\!\ p'=p}$ mit der ${\displaystyle 3\!\times \!3\,{\text{-}}}$Basiswechsel-Matrix ${\displaystyle E={\big (}e_{x}'\,{\big |}\,e_{y}'\,{\big |}\,e_{z}'{\big )}.}$ Weil diese orthogonal ist, gilt ${\displaystyle E^{-1}=E^{\mathsf {T}}}$ und folglich ${\displaystyle p'=E^{\mathsf {T}}p.}$ Die orthogonale Axonometrie, die senkrecht auf die ${\displaystyle x'{\text{-}}y'{\text{-}}}$Ebene als Zeichenebene projiziert, entspricht dem Weglassen der untersten ${\displaystyle z'{\text{-}}}$Koordinate bei ${\displaystyle p'.}$ Ihre Abbildungsmatrix erhält man entsprechend aus ${\displaystyle E^{\mathsf {T}}}$ durch Weglassen der untersten Zeile:

${\displaystyle A={\frac {1}{7}}\,{\begin{pmatrix}6&-3&-2\\3&2&6\end{pmatrix}}.}$

Damit lassen sich Punkte in dem nebenstehenden Bild des Einheitswürfels berechnen. So wird etwa die Ecke ${\displaystyle p=(1,1,1)^{\mathsf {T}}}$ auf ${\displaystyle f(p)=A\!\ p={\big (}{\tfrac {1}{7}},{\tfrac {11}{7}}{\big )}{}^{\mathsf {T}}}$ abgebildet.