Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen. Das Integral lässt sich aber auch auf lokalkonvexe Räume verallgemeinern.

Definition

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum und ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral ${\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu }$ einer Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\chi _{X_{i}}(x)}$

mit Faktoren ${\displaystyle \alpha _{i}\in B}$ und messbaren Mengen ${\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {A}}}$, wobei ${\displaystyle \chi _{X_{i}}}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

${\displaystyle \int _{\Omega }s\,{\rm {d}}\mu$ :=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\mu (X_{i})} ,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von ${\displaystyle s}$ ist.

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B}$ heißt ${\displaystyle \mu }$-messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ einfacher Funktionen gibt, so dass ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ gilt.

Eine ${\displaystyle \mu }$-messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow B}$ heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ einfacher Funktionen gibt, so dass

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}(x)=f(x)}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle x\in \Omega }$ gilt und
• zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} }$ existiert mit

${\displaystyle \int _{\Omega }\|s_{n}-s_{k}\|{\rm {d}}\mu <\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle n,k\geq n_{0}}$.

In diesem Fall ist

${\displaystyle \int _{\Omega }f\,{\rm {d}}\mu$ :=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }s_{n}\,{\rm {d}}\mu }

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge ${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit obigen Eigenschaften. Falls ${\displaystyle M\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle f\colon M\rightarrow B}$, so schreibt man

${\displaystyle \int _{M}f{\rm {d}}\mu$ :=\int _{\Omega }{\tilde {f}}{\rm {d}}\mu } mit ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\left\{{\begin{array}{ll}f(x)\ ,&{\rm {falls}}\ x\in M\ ,\\0\ ,&{\rm {falls}}\ x\in \Omega \setminus M,\\\end{array}}\right.}$

sofern ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ Bochner-integrierbar ist.

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit:

Die Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist genau dann ${\displaystyle \mu }$-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle \phi \in B'}$ ist ${\displaystyle \phi \circ f\colon \Omega \to {\mathbb {K} }}$ ${\displaystyle \mu }$-messbar.
• Es gibt eine ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge ${\displaystyle N\subset \Omega }$, so dass ${\displaystyle f(\Omega \setminus N)\subset B}$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist ${\displaystyle B}$ ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit ${\displaystyle B}$-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die ${\displaystyle \mu }$-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine ${\displaystyle \mu }$-messbare Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to B}$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn ${\displaystyle \|f\|:\Omega \to \mathbb {R} }$ Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist ${\displaystyle B}$ ein Banachraum und ${\displaystyle f,g\colon \Omega \rightarrow B}$ sind integrierbare Funktionen.

Bochner-Lebesgue-Räume

Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum und ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ ein Banachraum, so nennt man für ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ den Raum ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)}$ der Bochner-integrierbaren Funktionen ${\displaystyle \Omega \rightarrow B}$ einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich ${\displaystyle \mu }$-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

${\displaystyle \|f\|_{p}:=\left(\int _{\Omega }\|f(\omega )\|^{p}\mathrm {d} \mu (\omega )\right)^{1/p},\quad 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\mathrm {ess} \sup \|f(\omega )\|,\quad \quad p=\infty }$

einen Banachraum. Dieser lässt sich für ${\displaystyle p=1}$ wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\times B\rightarrow L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B),\,(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha }$

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

${\displaystyle L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )\mathbin {{\hat {\otimes }}_{\pi }} B\cong L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ,B)}$

definiert, wobei ${\displaystyle {\hat {\otimes }}_{\pi }}$ das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Erweiterung auf lokalkonvexe Räume

Es ist möglich das Bochner-Integral auf lokalkonvexe Räume zu erweitern, dies wurde 1975 von Wjatscheslaw Rybakow, 1981 durch Chris Blondia und 2015 von Ralf Beckmann und Anton Deitmar gemacht, wobei Beckmann und Deitmar den ursprünglichen Ansatz von Bochner für vektorwertige Integrale auf Netze erweiterten.

Die nachfolgende Definition stammt von Blondia:

Es seien ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher, vollständiger Maßraum. Weiter sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}})}$ ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum, der vollständig ist und dessen Topologie durch eine Familie von Seminormen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ erzeugt wird. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ heißt stark-integrierbar oder Bochner-integrierbar, wenn eine Folge ${\displaystyle (f_{n})}$ existiert, so dass

• ${\displaystyle f_{n}(\omega )\to f(\omega )}$ für ${\displaystyle \mu }$-fast alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ gilt.
• ${\displaystyle p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))\in L^{1}(\Omega$ ;\mathbb {R} )} für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und alle Seminormen ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$, das heißt

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\int _{\Omega }p(f(\omega )-f_{n}(\omega ))d\mu =0.}$

• ${\displaystyle \int _{A}f_{n}(\omega )d\mu }$ konvergiert für jede messbare Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle \Omega }$.

Siehe auch

• Birkhoff-Integral
• Pettis-Integral

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
• Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (PDF; 799 kB). In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 20, 1933, S. 262–276.
• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).
• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.

Einzelnachweise

1. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Bemerkung X.2.1 (a).
2. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 65.
3. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 87.
4. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, Korollar X.2.7.
5. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 94.
6. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2001, S. 92.
7. ↑ Joseph Diestel, John Jerry Uhl: Vector Measures (= Mathematical Surveys. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Corollary III.2.13.
8. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 2.19
9. ↑ Vyacheslav I. Rybakov: A generalization of the Bochner integral to locally convex spaces. In: Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. Band 18, 1975, S. 933–938, doi:10.1007/BF01153047. 
10. ↑ Chris Blondia: Integration in locally convex spaces. In: Simon Stevin, (A Quarterly Journal of Pure and Applied Math.). Band 55, Nr. 3, 1981, S. 81–102. 
11. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 176 - 190, doi:10.15352/afa/06-3-15. 
12. ↑ Valeria Marraffa: A Birkhoff Type Integral and the Bourgain Property in a Locally Convex Space. In: Michigan State University Press (Hrsg.): Real Analysis Exchange. Band 32, Nr. 2, 2006, S. 410 (projecteuclid.org). 
13. ↑ Ralf Beckmann und Anton Deitmar: Two applications of nets. In: Ann. Funct. Anal. Band 6, Nr. 3, 2015, S. 183, doi:10.15352/afa/06-3-15 (Theorem 1.15 und Theorem 1.16).