Coxeter-Gruppe

In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.

Definitionen

Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentation

${\displaystyle W=\langle r_{1},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }$

mit ${\displaystyle m_{ii}=1}$ und ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ für ${\displaystyle i\not =j}$.

Die Bedingung ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ bedeutet, dass ${\displaystyle (r_{i}r_{j})}$ unendliche Ordnung haben. Die Erzeuger sind alle nicht trivial und paarweise verschieden und die Produkte ${\displaystyle r_{i}r_{j}}$ haben Ordnung ${\displaystyle m_{ij}}$.

Das Paar ${\displaystyle (W,S)}$, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe ${\displaystyle W}$ und einer Menge aus Erzeugern ${\displaystyle S=\left\{r_{1},\ldots ,r_{n}\right\}}$, wird als Coxeter-System bezeichnet und die Anzahl der Erzeuger ${\displaystyle n}$ wird Rang des Systems genannt. Zu einer Gruppe kann es verschiedene Coxeter-Systeme geben, welche sogar verschiedene Ränge besitzen können.

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger ${\displaystyle r_{i}}$, Kanten zwischen den ${\displaystyle r_{i}}$ und ${\displaystyle r_{j}}$ verbindenden Knoten genau für ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$ und einer Markierung der Kante durch ${\displaystyle m_{ij}}$ für ${\displaystyle m_{ij}\geq 4}$. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei ${\displaystyle A_{n},B_{n}=C_{n}}$ und ${\displaystyle D_{n}}$ jeweils für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

Beispiele

• Alle Diedergruppen ${\displaystyle D_{n}}$ sind Coxetergruppen, in Coxeters Klassifikation sind sie mit ${\displaystyle I_{n}}$ benannt.
• Die symmetrischen Gruppen ${\displaystyle S_{n+1}}$ bilden mit den Transpositionen ${\displaystyle (i\quad i+1)}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ als Erzeuger Coxetersysteme vom Typ ${\displaystyle A_{n}}$

Eigenschaften

• Das direkte Produkt ${\displaystyle W_{1}\times W_{2}}$ zweier Coxetergruppen ${\displaystyle W_{1}}$ und ${\displaystyle W_{2}}$ ist wieder eine Coxetergruppe. Das Coxeterdiagramm erhält man durch die disjunktene Vereinigung der Diagramme der Faktoren. Kann eine Coxetergruppe als ein solches Produkt geschrieben werden wird sie reduziebel genannt. Nicht reduzieble Coxetergruppen heißen irreduzibel. Äquivalent dazu ist die Eigenschaft, dass das Coxeter-Diagramm zusammenhängend ist.
• Das freie Produkt ${\displaystyle W_{1}*W_{2}}$ ist ebenfalls eine Coxetergruppe, deren Präsentation durch disjunkte Vereinigung der Erzeuger und Relationen gegeben ist.
• Auf Coxetergruppen lassen sich verschiedene partielle Ordnungen definieren. Zum Beispiel die Bruhat-Ordnung oder die schwache rechts (bzw. links) Ordnung.
• Coxetergruppen sind lineare Gruppen und somit zum Beispiel virtuell torsionsfrei.

Literatur

• Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
• Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.
• Peter Abramenko, Kenneth S. Brown: Buildings: Theory and Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Band 248). Springer New York, New York, NY 2008, ISBN 978-0-387-78834-0, doi:10.1007/978-0-387-78835-7 (springer.com).