Diedergruppe

In der Gruppentheorie lässt sich die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ als eine Gruppe erklären, die aus ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen in der Ebene besteht. Für ${\displaystyle n\geq 3}$ ist das die Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks in der Ebene. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder für regelmäßige Vielecke ab. Diese Gruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf, werden von ein oder zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung ${\displaystyle 2}$) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Bezeichnungen

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise ${\displaystyle D_{n}}$, um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man oft auch ${\displaystyle D_{2n}}$, um stattdessen die Ordnung ${\displaystyle 2n}$ hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht ${\displaystyle D_{n}}$ für die Diedergruppe mit ${\displaystyle 2n}$ Elementen.

Definition

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ lässt sich für jede ganze Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ als eine Gruppe erklären, die aus ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen in der Ebene sowie der Verkettung als Verknüpfung besteht. Dadurch ist sie im Wesentlichen eindeutig festgelegt. Denn diese ${\displaystyle 2n}$ Kongruenzabbildungen haben dann einen gemeinsamen Fixpunkt ${\displaystyle O,}$ die ${\displaystyle n}$ Drehwinkel sind

${\displaystyle \alpha _{k}={\frac {2k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dotsc ,n-1),}$

und die ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen ergeben sich aus einer von ihnen durch Drehungen um die Winkel

${\displaystyle {\frac {\alpha _{k}}{2}}={\frac {k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dotsc ,n-1)}$

(siehe Satz von Leonardo).

Für ${\displaystyle n\geq 3}$ ist die Gruppe ${\displaystyle D_{n}}$ daher identisch mit der Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${\displaystyle n}$-Ecks, dessen Symmetrieachsen die ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen sind und dessen Mittelpunkt somit ${\displaystyle O}$ ist. Die Gruppe ${\displaystyle D_{n}}$ ist dann nicht abelsch, und ihre ${\displaystyle 2n}$ Elemente bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen.

Die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ kann für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ auch algebraisch definiert werden als semidirektes Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rtimes _{g\mapsto g^{-1}}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ durch Inversion gegeben). Aber darauf wird hier nicht weiter eingegangen.

Beispiele

Ein Beispiel ist die Diedergruppe ${\displaystyle D_{3}}$ der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ ist. ${\displaystyle D_{4}}$ ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

${\displaystyle D_{2}}$ ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke). ${\displaystyle D_{1}}$ ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

${\displaystyle D_{2}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines nicht gleichseitigen Rechtecks oder einer nicht gleichwinkligen Raute. ${\displaystyle D_{1}}$ ist auch die Symmetriegruppe eines gleichschenkligen Dreiecks, das nicht gleichseitig ist.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe ${\displaystyle D_{8}}$ anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt die acht Drehungen, die zweite Zeile die acht Spiegelungen.

Matrix-Darstellung

Die ${\displaystyle n}$ Drehungen und ${\displaystyle n}$ Achsenspiegelungen der Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ mit einer ganzen Zahl ${\displaystyle n\geq 1}$ lassen sich durch orthogonale ${\displaystyle 2\!\times \!2\!\ {\text{-}}}$Matrizen darstellen. Dazu wird in der Ebene ein positiv orientiertes kartesisches ${\displaystyle x{\text{-}}y{\text{-}}}$Koordinatensystem zugrunde gelegt, dessen Ursprung der Fixpunkt ${\displaystyle O}$ ist und dessen ${\displaystyle x{\text{-}}}$Achse eine der Spiegelachsen ist. Die Drehung ${\displaystyle r_{k}}$ um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}=k\cdot 2\pi /n}$ (im positiven Sinn) wird dann durch die Matrix

${\displaystyle A_{k}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{k}&-\sin \alpha _{k}\\\sin \alpha _{k}&\cos \alpha _{k}\end{pmatrix}}}$

dargestellt und die Spiegelung ${\displaystyle s_{k}}$ an der um ${\displaystyle O}$ um den Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}/2=k\cdot \pi /n}$ gedrehten ${\displaystyle x{\text{-}}}$Achse durch

${\displaystyle B_{k}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{k}&\sin \alpha _{k}\\\sin \alpha _{k}&-\cos \alpha _{k}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle (k=0,1,\dotsc ,n-1).}$

Diese ${\displaystyle 2n}$ Matrizen bilden bezüglich der Matrizenmultiplikation eine zu ${\displaystyle D_{n}}$ isomorphe Gruppe. Diese Matrizengruppe ist eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe ${\displaystyle O(2)}$ und wird manchmal mit ${\displaystyle D_{n}}$ identifiziert.

Die Winkel ${\displaystyle \alpha _{k}=k\cdot 2\pi /n}$ lassen sich für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle k}$ bilden, ebenso die zugehörigen Drehungen ${\displaystyle r_{k}}$ und Achsenspiegelungen ${\displaystyle s_{k}}$ bzw. Matrizen ${\displaystyle A_{k}}$ und ${\displaystyle B_{k}.}$ Es fallen dann folgende Relationen auf:

• ${\displaystyle r_{k+n}=r_{k}}$ und ${\displaystyle s_{k+n}=s_{k}}$ für alle ${\displaystyle k.}$
• ${\displaystyle r_{0}}$, die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 0}$, ist die Identität.
• ${\displaystyle r_{1}}$ ist die Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\pi /n}$ und es gilt ${\displaystyle r_{k}=r_{1}^{k}}$ für alle ${\displaystyle k.}$
• ${\displaystyle s_{0}}$ ist die Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse und es gilt ${\displaystyle s_{k}=r_{k}s_{0}}$ für alle ${\displaystyle k.}$

Beispiel

Für ${\displaystyle n=4}$ ergeben sich in der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ die vier Drehungen

${\displaystyle r_{0}{\text{ um }}0^{\circ }\!,\quad }$ ${\displaystyle r_{1}{\text{ um }}90^{\circ }\!,\quad }$ ${\displaystyle r_{2}{\text{ um }}180^{\circ }\!,\quad }$ ${\displaystyle r_{3}{\text{ um }}270^{\circ }}$

und die vier Spiegelungen

${\displaystyle s_{0}{\text{ an der }}x{\text{-Achse}},\quad }$ ${\displaystyle s_{1}{\text{ an der Geraden }}y=x,}$
${\displaystyle s_{2}{\text{ an der }}y{\text{-Achse}},\quad }$ ${\displaystyle s_{3}{\text{ an der Geraden }}y=-x.}$

Diese acht Kongruenzabbildungen lassen sich durch die beiden Grafiken veranschaulichen (der animierten Grafik liegt der Gegenuhrzeigersinn als positiv zugrunde). Sie werden durch die folgenden orthogonalen Matrizen dargestellt:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&A_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&A_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&A_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1ex]B_{0}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&B_{1}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&B_{2}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&B_{3}&={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$

Permutations-Darstellung

Zunächst setzen wir das Beispiel mit der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ fort. Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe ${\displaystyle D_{4}}$ auf den Eckennummern ${\displaystyle 1,2,3,4,}$ so erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{4},}$ also einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \tau \colon \,D_{4}\to S_{4}.}$ Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Eckennummern als folgende Permutationen:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (r_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}}\right),&\tau (r_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{smallmatrix}}\right),\\[1ex]\tau (s_{0})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{1})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{2})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{smallmatrix}}\right),&\tau (s_{3})&=\left({\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}}\right).\end{aligned}}}$

Erzeuger und Relationen

Alle ${\displaystyle n}$ Drehungen werden von ${\displaystyle r=r_{1}}$ erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle n}$ und demnach von Index ${\displaystyle 2}$. Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel ${\displaystyle s=s_{0}}$, und so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle r,s\;{\big |}\;r^{n}=s^{2}=\ srsr=e\right\rangle }$

für ${\displaystyle n\geq 2,}$ wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element der Gruppe ist.

Aus den letzten beiden Gleichungen folgt ${\displaystyle \textstyle sr=r^{-1}s^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle =r^{-1}s}$ und daraus

${\displaystyle sr^{k}=r^{-k}s}$

für alle ganzen Zahlen ${\displaystyle k}$ (zunächst induktiv nur für ${\displaystyle k\geq 0,}$ aber hieraus auch ${\displaystyle \textstyle sr^{-k}=r^{k}s}$). Mit ${\displaystyle \textstyle r^{n}=e}$ ergibt sich noch ${\displaystyle \textstyle sr^{k}=r^{n-k}s.}$

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen ${\displaystyle \alpha }$, so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }$. Das bedeutet, dass die Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel ${\displaystyle s_{0}}$ und ${\displaystyle s_{1}}$, erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

${\displaystyle D_{n}=\left\langle s_{0},s_{1}\;{\big |}\;s_{0}^{2}=s_{1}^{2}=(s_{0}s_{1})^{n}=e\right\rangle }$

für ${\displaystyle n\geq 2}$ bzw. ${\displaystyle D_{1}=\left\langle s_{0}\,{\big |}\,s_{0}^{2}=e\right\rangle }$. Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes ${\displaystyle i}$ und ${\displaystyle j}$ gilt außerdem:

1. ${\displaystyle r_{i}r_{j}=r_{i+j}}$
2. ${\displaystyle r_{i}s_{j}=s_{i+j}}$
3. ${\displaystyle s_{i}r_{j}=s_{i-j}}$
4. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=r_{i-j}}$

Dabei werden die Indizes jeweils modulo ${\displaystyle n}$ betrachtet (${\displaystyle r_{i+n}=r_{i}}$ und ${\displaystyle s_{i+n}=s_{i}}$).

Anwendungen

Codierung

Manche Prüfsummenverfahren beruhen auf Diedergruppen – als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren. So wurde bei den 11-stelligen Nummern der 10- bis 1000-DM-Banknoten der vierten Serie (der letzten vor dem Euro) ein Prüfzeichen-Code ${\displaystyle C}$ über der Diedergruppe ${\displaystyle D_{5}}$ verwendet (für die 10-stelligen Nummern der 5-DM-Scheine wurde er in naheliegender Weise modifiziert).

Der Code ${\displaystyle C}$ lässt sich als die Menge aller 11-Tupel

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{10},x_{11})\in D_{5}^{11}}$

auffassen, welche die folgende Kontrollgleichung erfüllen:

${\displaystyle f(x_{1})\!\ f^{2}(x_{2})\dotsm f^{10}(x_{10})\!\ x_{11}=e}$

mit der durch die Skizze gegebenen bijektiven Abbildung ${\displaystyle f\colon \,D_{5}\to D_{5}}$ und deren Iterierten wie etwa ${\displaystyle \textstyle f^{2}=f\circ f\,}$ (${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle s}$ wie oben). Der Code ${\displaystyle C\subseteq D_{5}^{11}}$ lässt jeden Einzelfehler erkennen, ebenso jede Nachbar-Vertauschung („Zahlendreher“) – außer der von ${\displaystyle x_{10}}$ mit ${\displaystyle x_{11}}$ (es wurde vergessen, ${\displaystyle x_{11}}$ mit ${\displaystyle \textstyle f^{11}}$ abzubilden).

	5 Drehungen					5 Spiegelungen
Gruppenelement	${\displaystyle \,e\,}$	${\displaystyle \,r\,}$	${\displaystyle r^{2}}$	${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle r^{4}}$	${\displaystyle \,s\,}$	${\displaystyle rs}$	${\displaystyle r^{2}\!s}$	${\displaystyle r^{3}\!s}$	${\displaystyle r^{4}\!s}$
Ziffer	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Buchstabe	A	D	G	K	L	N	S	U	Y	Z

Bei den Nummern sind die Gruppenelemente ${\displaystyle x_{1},\!\ x_{2},\!\ x_{10}}$ durch Buchstaben und ${\displaystyle x_{3},\dotsc ,\!\ x_{9},\!\ x_{11}}$ durch Ziffern gemäß der Tabelle symbolisiert (die Ziffer an der letzten Stelle ist das Prüfzeichen).

Beispiel. Die Nummer AA6186305Z2 eines 100-DM-Scheins entspricht dem 11-Tupel

${\displaystyle x={\big (}e,e,rs,r,r^{3}\!s,rs,r^{3}\!,e,s,r^{4}\!s,r^{2}{\big )}\in D_{5}^{11}.}$

Um zu zeigen, dass ${\displaystyle x}$ die Kontrollgleichung tatsächlich erfüllt, werden zunächst die einzelnen Faktoren der linken Seite an der Skizze abgelesen: ${\displaystyle f(e)=r,}$ ${\displaystyle \textstyle f^{2}(e)=s}$ und so fort. Dann wird ihr Produkt bestimmt und vereinfacht, insbesondere mit den drei in Klammern stehenden Rechenregeln in ${\displaystyle D_{5}}$ für ganzzahliges ${\displaystyle k\colon }$

${\displaystyle \textstyle {\underset {r{\vphantom {r^{0}}}}{f(e)}}\!\ {\underset {s{\vphantom {r^{0}}}}{f^{2}(e)}}\!\ {\underset {r^{3}}{f^{3}(rs)}}\!\ {\underset {r^{4}}{f^{4}(r)}}\!\ {\underset {e{\vphantom {r^{0}}}}{f^{5}(r^{3}\!s)}}\!\ {\underset {rs{\vphantom {r^{0}}}}{f^{6}(rs)}}\!\ {\underset {rs{\vphantom {r^{0}}}}{f^{7}(r^{3})}}\!\ {\underset {e{\vphantom {r^{0}}}}{f^{8}(e)}}\!\ {\underset {r^{3}\!\!\ s}{f^{9}(s)}}\!\ {\underset {r^{2}}{f^{10}(r^{4}\!s)}}\!\ r^{2}}$

${\displaystyle \!{\begin{alignedat}{1}&=rsr^{8}\!srsr^{3}\!sr^{4}&{\big (}sr^{k}=r^{-k}\!s{\big )}^{\vphantom {|}}\\[0.7ex]&=rr^{-8}\!ssrr^{-3}\!ssr^{4}\qquad \;&{\big (}s^{2}=e{\big )}\\[0.7ex]&=r^{-5}=e&{\big (}r^{5k}=e{\big )}\end{alignedat}}}$

und somit ist auch ${\displaystyle x\in C.}$

Siehe auch

• Unendliche Diedergruppe

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dihedral Group. In: MathWorld (englisch).
• Stephan-Brumme.com: Der Geldscheintester.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Die Verkettung wird häufig mit ${\displaystyle \circ }$ bezeichnet und die Gruppe dann auch ausführlicher mit ${\displaystyle (D_{n},\circ ).}$
2. ↑ Alle ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen gehen also durch den Punkt ${\displaystyle O,}$ und dieser kann als gemeinsamer Drehpunkt betrachtet werden. ${\displaystyle O}$ erhält man etwa als Schwerpunkt der Bildpunkte eines beliebigen Punktes ${\displaystyle P}$ unter allen Gruppenelementen: ${\displaystyle \textstyle O={\frac {1}{2n}}\sum _{g\in D_{n}}g(P).}$
3. ↑ Wenn ${\displaystyle n}$ ungerade ist, dann verläuft jede der ${\displaystyle n}$ Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades ${\displaystyle n}$ gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.
4. 1 2 Welcher Drehsinn in der Ebene als der positive zugrunde liegt, spielt keine Rolle.
5. ↑ Falls hier noch der Uhrzeigersinn als positiv und die ${\displaystyle x}$-Achse nach oben zeigend zugrunde liegt, so zeigt die ${\displaystyle y}$-Achse nach rechts, und es ist

   ${\displaystyle r_{0}=e,\;\;r_{1}=a,\;\;r_{2}=a^{2},\;\;r_{3}=a^{3},\;\;}$ ${\displaystyle s_{0}=b,\;\;s_{1}=ab,\;\;s_{2}=a^{2}b,\;\;s_{3}=a^{3}b.}$

6. 1 2 Albrecht Beutelspacher: Vertrauen ist gut, Kontrolle ist besser! Vom Nutzen elementarer Mathematik zum Erkennen von Fehlern. In: Jahrbuch Überblicke Mathematik. 1995, ISSN 0172-8512, DNB 011466979, S. 27–37. 
7. 1 2 Ralph-Hardo Schulz: Codierungstheorie. Eine Einführung. 2., aktualisierte und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-16419-0, S. 64–66.