Disjunkt

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ disjunkt (lateinisch disjunctus (-a, -um) ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Zwei Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$.

Eine Familie von Mengen ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

${\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset }$ für ${\displaystyle i\neq j}$ und ${\displaystyle i,j\in I}$.

Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:

${\displaystyle i=j}$ für alle ${\displaystyle i,j\in I}$ und ${\displaystyle x\in M_{i}\cap M_{j}}$.

Die Vereinigung ${\displaystyle M}$ einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

${\displaystyle M={\dot {\bigcup _{i\in I}}}M_{i}}$.

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von ${\displaystyle M}$ vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

• Die Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ und ${\displaystyle B=\{7,8,11\}}$ sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
• Die Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,7\}}$ und ${\displaystyle B=\{6,7,8,11\}}$ sind nicht disjunkt, da sie das Element ${\displaystyle 7}$ gemeinsam haben.
• Die drei Mengen ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$, ${\displaystyle B=\{4,5\}}$ und ${\displaystyle C=\{5,6,7\}}$ sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich ${\displaystyle B\cap C}$) nicht leer ist.
• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: ${\displaystyle \{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots }$.
• Zwei verschiedene Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden ${\displaystyle g}$ bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

• 
  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
• 
  Ein paarweise disjunktes Mengensystem
• 
  Ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

1. 0 bis 1000 Euro
2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

• Die leere Menge ${\displaystyle \emptyset }$ ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
• ${\displaystyle \{a\}}$ und ${\displaystyle B}$ sind genau dann disjunkt, wenn ${\displaystyle a\notin B}$.
• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
• Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
• Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt

Siehe auch

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Weblinks

Wiktionary: disjunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

1. ↑ Siehe die Antworten zur Frage „Is the empty family of sets pairwise disjoint?“