Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe $Γ$ heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements $γ \in Γ$ liegen keine weiteren Elemente von $Γ$ .

Eine Darstellung $ρ : Γ \to G L (n, ℂ)$ einer (abstrakten) Gruppe $Γ$ heißt diskret, wenn das Bild $ρ (Γ)$ eine diskrete Untergruppe von $G L (n, ℂ)$ ist.

Beispiele

$ℤ \subset ℝ$: Die ganzen Zahlen sind eine diskrete Untergruppe der reellen Zahlen
$ℤ \subset ℂ$: Die ganzen Zahlen sind eine diskrete Untergruppe der komplexen Zahlen
$ℚ \subset ℂ$: Die rationalen Zahlen sind keine diskrete Untergruppe der komplexen Zahlen
$G L (n, ℤ) \subset G L (n, ℝ)$: Das Gitter der Liegruppe mit ganzen Zahlen ist eine diskrete Untergruppe des Gitters der Liegruppe mit reellen Zahlen

Eigenschaften

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter

Sei $G$ eine lokalkompakte $σ$ -kompakte topologische Gruppe, $π : G \to Γ ∖ G$ die Projektion und $μ$ das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe $Γ \subset G$ erzeugt das Haarmaß $μ$ ein wohldefiniertes Maß $μ_{Γ}$ auf $Γ ∖ G$ wie folgt: für alle Mengen $A \subset G$ mit $A \cap γ A = ∅︀ \forall γ \in Γ - {e}$ definieren wir $μ_{Γ} (π (A)) = μ (A)$ .

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe $Γ \subset G$ , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum $Γ ∖ G$ endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn $Γ ∖ G$ kompakt ist.

Ein Gitter $Γ \subset G$ heißt reduzibel, wenn sich $G$ als direktes Produkt $G = G_{1} \times G_{2}$ zerlegen lässt, so dass es Gitter $Γ_{1} \subset G_{1}, Γ_{2} \subset G_{2}$ gibt, für die $Γ_{1} \times Γ_{2}$ eine Untergruppe von endlichem Index in $Γ$ ist. Insbesondere ist $Γ$ dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Springer, New York, Heidelberg 1972.
G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks

Venkataramana: Lattices in Lie groups