Disphenocingulum Kartesische Koordinaten
Die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2:
(
0
,
±
1
,
p
)
(
±
s
,
±
1
,
q
)
(
0
,
±
t
,
r
)
(
±
t
,
0
,
−
r
)
(
±
1
,
±
s
,
−
q
)
(
±
1
,
0
,
−
p
)
{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&(&0,&&\;\pm 1,&&\;p&)\\&(&\pm s,&&\;\pm 1,&&\;q&)\\&(&0,&&\;\pm t,&&\;r&)\\&(&\pm t,&&\;0,&&\;-r&)\\&(&\pm 1,&&\;\pm s,&&\;-q&)\\&(&\pm 1,&&\;0,&&\;-p&)\end{alignedat}}}
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
(
p
−
q
)
2
+
s
2
=
4
{\displaystyle (p-q)^{2}+s^{2}=4}
(
p
−
r
)
2
+
(
t
−
1
)
2
=
4
{\displaystyle (p-r)^{2}+(t-1)^{2}=4}
4
q
2
+
s
2
+
(
t
−
s
)
2
=
4
{\displaystyle 4q^{2}+s^{2}+(t-s)^{2}=4}
2
q
2
+
(
s
−
1
)
2
=
2
{\displaystyle 2q^{2}+(s-1)^{2}=2}
(
q
+
r
)
2
+
(
t
−
s
)
2
=
3
{\displaystyle (q+r)^{2}+(t-s)^{2}=3}
mit
p
=
a
+
b
2
≈
2
,
21
q
=
a
+
b
2
−
2
a
≈
0
,
93
r
=
b
−
a
2
≈
0
,
65
s
=
2
a
a
2
−
1
≈
1
,
53
t
=
4
−
a
2
+
1
≈
2
,
25
{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {a+b}{2}}\approx 2{,}21\\q&={\frac {a+b}{2}}-{\frac {2}{a}}\approx 0{,}93\\r&={\frac {b-a}{2}}\approx 0{,}65\\s&={\frac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}\approx 1{,}53\\t&={\sqrt {4-a^{2}}}+1\approx 2{,}25\end{aligned}}}
bestehend aus
b
=
2
a
+
3
−
(
4
−
a
2
+
1
−
2
a
a
2
−
1
)
2
≈
2
,
86
{\displaystyle b={\frac {2}{a}}+{\sqrt {3-\left({\sqrt {4-a^{2}}}+1-{\tfrac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}\right)^{2}}}\approx 2{,}86}
a
≈
1,558
86993226
{\displaystyle a\approx 1{,}55886993226}
4
=
2
(
2
a
a
2
−
1
−
1
)
2
+
(
3
−
(
4
−
a
2
−
2
a
a
2
−
1
+
1
)
2
+
a
−
2
a
)
2
{\displaystyle 4=2\left({\frac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}-1\right)^{2}+\left({\sqrt {3-\left({\sqrt {4-a^{2}}}-{\tfrac {2}{a}}{\sqrt {a^{2}-1}}+1\right)^{2}}}+a-{\frac {2}{a}}\right)^{2}}
Größen eines Disphenocingulums mit Kantenlänge a
Oberflächeninhalt
A
O
=
a
2
(
4
+
5
3
)
{\displaystyle A_{O}=a^{2}\left(4+5{\sqrt {3}}\right)}
