Windschiefe

In der Geometrie heißen zwei Geraden (zueinander) windschief (seltener kreuzend), wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich entweder schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.

Das Wort „windschief“ stammt von der Vorstellung, dass zwei ursprünglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, also verdreht wurden.

Untersuchung zweier Geraden auf Windschiefe

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Windschiefe von zwei Geraden $g$ und $h$ nachzuweisen:

Die Windschiefe lässt sich direkt anhand der Definition nachweisen. Es muss also gezeigt werden, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind und sich außerdem nicht schneiden.

Alternativ genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von $g$ , ein Richtungsvektor von $h$ und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf $g$ zu einem Punkt auf $h$ linear unabhängig sind.
Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstands windschiefer Geraden

Das Gemeinlot zweier Geraden $g$ und $h$ ist die eindeutig bestimmte Strecke, die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Es handelt sich um die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Graden, weshalb seine Länge den Abstand $d (g, h)$ der beiden Geraden definiert.

Gegeben seien die windschiefen Geraden $g$ und $h$ mit den Stützpunkten $A$ und $B$ bzw. den Stützvektoren $\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}$ und den Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ . Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

g : \vec{x} = \vec{a} + r \vec{v}

h : \vec{x} = \vec{b} + s \vec{w} r, s \in ℝ

,

wobei $\vec{a}, \vec{b}, \vec{v}, \vec{w} \in ℝ^{3}$ ist und die drei Vektoren $\vec{a} - \vec{b}, \vec{v}, \vec{w}$ linear unabhängig sind.

Der Abstand zwischen den beiden windschiefen Geraden lässt sich berechnen mithilfe des Verbindungsvektor $\vec{a} - \vec{b}$ der beiden Stützpunkte und eines Einheitsvektors ${\vec{n}}_{0}$ , der senkrecht auf $\vec{v}$ und $\vec{w}$ steht (und damit in Richtung des Gemeinlots zeigt):

d (g, h) = | (\vec{a} - \vec{b}) \cdot {\vec{n}}_{0} | .

Einen solchen Vektor ${\vec{n}}_{0}$ erhält man z. B. durch Bildung des Kreuzprodukts $\vec{v} \times \vec{w}$ , das per Konstruktion senkrecht auf den beiden (nicht parallelen) Richtungsvektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ steht, und anschließende Normierung. Einsetzen dieses Normaleneinheitsvektor in die obige Gleichung liefert eine Abstandsformel, die von den gegebenen Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{v}$ und $\vec{w}$ abhängt:

d (g, h) = \frac{| (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) |}{| \vec{v} \times \vec{w} |} .

Der Ausdruck $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ ist das Spatprodukt der Vektoren $\vec{a} - \vec{b}, \vec{v}, \vec{w}$ , welches sich auch schreiben lässt als Determinante der aus diesen Vektoren zusammengesetzten Matrix $(\vec{a} - \vec{b}, \vec{v}, \vec{w}) .$ Damit erhält man als weitere Abstandsformel

d (g, h) = \frac{| det (\vec{a} - \vec{b}, \vec{v}, \vec{w}) |}{| \vec{v} \times \vec{w} |} .

Beispiel

Gesucht ist der Abstand der beiden windschiefen Geraden

g : (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

und

h : (\begin{matrix} 0 \\ 11 \\ 7 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) .

Durch Kreuzproduktbildung erhält man den Normalenvektor

\vec{v} \times \vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix})

mit Länge $| \vec{v} \times \vec{w} | = 9$ . Also ist ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})$ ein Einheitsvektor, der sowohl senkrecht auf $g$ als auch auf $h$ steht. Bildet man nun das Skalarprodukt mit $\vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 11 \\ - 8 \end{matrix})$ , so erhält man den Abstand von $g$ und $h$ als $d (g, h) = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ .

Literatur

Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel, Klaus Lichtenegger: Grundwissen Mathematikstudium. 2. Auflage. Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 249–250.

Weblinks

Wikibooks: Windschiefe Geraden – Weitere Methoden zur Berechnung des Abstands und der Lotfußpunkte

Wiktionary: windschief – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807
↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11. Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 155.
↑ DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 20. Mai 2021.
↑ Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 439.
↑ Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 3-06-001173-7, S. 144.
↑ Arens et al.: Grundwissen Mathematikstudium. 2021, S. 249.
↑ Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. 1. Auflage. Volk und Wissen, Berlin 1998, ISBN 3-06-001173-7, S. 197.
↑ Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, S. 164.
↑ Arens et al.: Grundwissen Mathematikstudium. 2021, S. 250.

[1] Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807

[2] Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11. Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 155.

[3] DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 20. Mai 2021.

[4] Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 439.

[5] Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 3-06-001173-7, S. 144.

[6] Arens et al.: Grundwissen Mathematikstudium. 2021, S. 249.

[7] Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. 1. Auflage. Volk und Wissen, Berlin 1998, ISBN 3-06-001173-7, S. 197.

[8] Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, S. 164.

[9] Arens et al.: Grundwissen Mathematikstudium. 2021, S. 250.