Durchmesser

Der Durchmesser (griechisch διάμετρος diámetros) eines Kreises in der euklidischen Ebene oder einer Kugel im euklidischen Raum ist der größte Abstand zweier Punkte der Kreislinie beziehungsweise der Kugeloberfläche. Bei einem Kreis ist dies die Länge jeder längsten Sehne.

Allgemein ist der Durchmesser eines Rotationskörpers die Länge der längsten Sehne senkrecht zur Rotationsachse des Körpers. Ein gebräuchliches Durchmesserzeichen ist der diagonal durchgestrichene Kreis (ø).

Geometrie

Der Durchmesser eines Kreises entspricht der Länge einer jeden Sehne, die den Mittelpunkt enthält. Sie ist demnach gleich dem Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten, welche die Schnittmenge der Kreislinie mit einer durch den Kreismittelpunkt verlaufenden Geraden bilden. Entsprechend gilt auch im höherdimensionalen Fall einer $n$ -Sphäre (und insbesondere im Fall einer Kugel), dass der Durchmesser die Länge der Strecke ist, die aus einer den Mittelpunkt enthaltenden Geraden von der Sphäre ausgeschnitten wird. Hier wird eine solche Strecke dann selbst gelegentlich als ein Durchmesser (dieser Sphäre) bezeichnet.

Die Hälfte eines Durchmessers wird Radius $r$ genannt. Das Verhältnis vom Umfang $U$ eines Kreises zum Durchmesser $d$ ist die Kreiszahl $\pi =3{,}14159\dots$ und bei einem Kreis gilt daher

d={\frac {U}{\pi }}=2r

.

Innen- und Außendurchmesser

Im Falle eines Kreisrings oder eines Hohlzylinders unterscheidet man zwischen dem inneren und äußeren Durchmesser, genannt Innendurchmesser und Außendurchmesser.

Zur Abgrenzung werden meist verschiedene Formelzeichen verwendet, z. B. $d$ , $d_{i}$ oder $D_{i}$ für den Innen- und $D$ , $d_{a}$ oder $D_{a}$ für den Außendurchmesser.

Analog wird $r={\frac {d}{2}}$ als Innenradius und $R={\frac {D}{2}}$ als Außenradius bezeichnet. Die Differenz von Außen- und Innenradius $b=R-r$ nennt man bei Kreisringen Ringbreite und bei Hohlkörpern Wanddicke.

Durchmesser in metrischen Räumen

Eine mathematische Verallgemeinerung ist der Durchmesser einer Menge $M$ in einem metrischen Raum $X$ . Er ist definiert als das Supremum aller Abstände je zweier Punkte des Raumes,

\operatorname {diam} (M):=\sup\{d(x,y):x,y\in M\}

.

Er beschreibt also im Wesentlichen den größten vorkommenden Abstand in $M$ . Für Kreise und Kugeln in euklidischen Räumen stimmt diese Definition mit dem oben genannten geometrischen Begriff überein.

Beispiele

Das reelle Einheitsintervall $I=[0,1]\subset \mathbb {R}$ hat den Durchmesser $\operatorname {diam} (I)=1$ .
Im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ haben die offene Einheitskugel $B_{\mathbb {R} ^{n}}$ , die abgeschlossene Einheitskugel ${\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}}}$ und die zugehörige Einheitssphäre $S^{n-1}\subset {\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}}}\;(n=2,3,\ldots )$ den gemeinsamen Durchmesser $\operatorname {diam} (B_{\mathbb {R} ^{n}})=\operatorname {diam} ({\overline {B_{\mathbb {R} ^{n}}}})=\operatorname {diam} (S^{n-1})=2$ .

Technik

Technische Formeln werden bevorzugt so aufgebaut, dass der Durchmesser und nicht der Radius als Variable enthalten ist, da sich der Durchmesser mit den werkstattüblichen Messmitteln (z. B. Messschieber) direkt ermitteln und dann in der Formel anwenden lässt.

In technischen Zeichnungen und Texten wird das Durchmesserzeichen ø (U+2300) den Maßzahlen von Kreisformen vorangestellt. Früher wurde dies Zeichen nur dann verwendet, wenn die Kreisform nicht sofort erkennbar war, d. h. beispielsweise bei der Schnittdarstellung von Bohrungen oder Durchgangsbohrungen. Laut DIN 406-11 von 1992 ist das Durchmesserzeichen seither in jedem Fall voran zu setzen.

Beispiele für Hohlkörper mit Innen- und Außendurchmesser sind Unterlegscheiben, Schläuche, Rohre, Hohlwellen und Wälzlager. Bei Rohren und Schläuchen wird der genormte Innendurchmesser Nennweite genannt. Der Begriff Nenndurchmesser wird branchenabhängig für Innen- oder Außendurchmesser benutzt.

Messverfahren

Für die Messung und Prüfung von Durchmessern eignen sich abhängig von der Größenordnung verschiedene Messmethoden. Sowohl Innen- als auch Außendurchmesser können mit Messschrauben und Messschiebern gemessen werden.

Größere Durchmesser lassen sich auch durch Koordinatenmessgeräte erfassen. Für kleine Durchmesser im Mikrometer-Bereich eignen sich optische Messverfahren, wie Lasermikrometer.

Zur Prüfung von Durchmessern eines Werkstücks können Grenzlehren verwendet werden.

Astronomie

In der Astronomie wird üblicherweise der Radius als Messwert und Messgröße angegeben und gemessen, der dann bei einer Angabe des Durchmessers des Objektes verdoppelt wird.

Weitere Begriffsverwendungen

Durchmesser (Graphentheorie) – der maximale Abstand zweier Knoten in einem Graphen
Äquivalentdurchmesser – der Durchmesser einer zu einem gegebenen Körper äquivalenten Kugel
- Aerodynamischer Durchmesser – Äquivalentdurchmesser bezüglich der Aerodynamik
Biparietaler Durchmesser – der Querdurchmesser des kindlichen Kopfes im Mutterleib
Idealkritischer Durchmesser – eine Kenngröße in der Stahlherstellung
Konjugierte Durchmesser – einander zugeordnete Durchmesser bei Kegelschnitten

Literatur

Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, DNB 850380359, S. 124, 333, 343.

Weblinks

Wiktionary: Durchmesser – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

↑ Dr. Hubert Bossek u. a.: Schulwissen Mathematik, 5. bis 10. Klasse. In: Günther Rolles, Dr. Michael Unger (Hrsg.): Schulwissen 5. bis 10. Klasse. 1. Auflage. Bibliographisches Institut AG / DUDEN PAETEC GmbH, Mannheim / Berlin 2009, ISBN 978-3-411-73591-4, S. 253.
↑ Duden Rechnen und Mathematik. Bibliographisches Institut, Mannheim etc. 1985, S. 343.
↑ Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 18. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 249.
↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u.a.: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2016, ISBN 978-3-8171-2007-9, S. 194.
↑ Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 28.
↑ Durchmesser einer Menge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53497-7, S. 461.
↑ DIN 406-11:1992-12. Technische Zeichnungen – Maßeintragung – Teil 11: Grundlagen der Anwendung. Beuth Verlag, Berlin 1992.
↑ Horst Wittel u.a.: Roloff/Matek Maschinenelemente. 23. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-17896-3, S. 21–22.

[1] Dr. Hubert Bossek u. a.: Schulwissen Mathematik, 5. bis 10. Klasse. In: Günther Rolles, Dr. Michael Unger (Hrsg.): Schulwissen 5. bis 10. Klasse. 1. Auflage. Bibliographisches Institut AG / DUDEN PAETEC GmbH, Mannheim / Berlin 2009, ISBN 978-3-411-73591-4, S. 253.

[2] Duden Rechnen und Mathematik. Bibliographisches Institut, Mannheim etc. 1985, S. 343.

[3] Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 18. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5, S. 249.

[4] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u.a.: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2016, ISBN 978-3-8171-2007-9, S. 194.

[5] Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 28.

[6] Durchmesser einer Menge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53497-7, S. 461.

[7] DIN 406-11:1992-12. Technische Zeichnungen – Maßeintragung – Teil 11: Grundlagen der Anwendung. Beuth Verlag, Berlin 1992.

[8] Horst Wittel u.a.: Roloff/Matek Maschinenelemente. 23. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-17896-3, S. 21–22.