Eigenschaft T

In der Mathematik ist Eigenschaft T (auch Kazhdans Eigenschaft T) eine Starrheitseigenschaft topologischer Gruppen, die zuerst von David Kazhdan in den 1960er Jahren betrachtet wurde.

Spätere Entwicklungen zeigten, dass Eigenschaft T in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle spielt, darunter diskrete Untergruppen von Lie-Gruppen, Ergodentheorie, Random Walks, Operatoralgebren, Kombinatorik und theoretische Informatik.

Eine Version, die unter anderem bei Beweisen im Zimmer-Programm verwendet wird, ist die von Vincent Lafforgue eingeführte starke Eigenschaft T.

Definition

Sei ${\displaystyle \pi \colon G\to U({\mathcal {H}})}$ eine stark stetige, unitäre Wirkung einer topologischen Gruppe ${\displaystyle G}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Für eine kompakte Menge ${\displaystyle Q\subset G}$ und ${\displaystyle \epsilon >0}$ heißt ein Vektor ${\displaystyle z\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (Q,\epsilon )}$-invariant, wenn

${\displaystyle \sup _{g\in Q}\|\pi (g)z-z\|<\epsilon \|z\|}$.

${\displaystyle G}$ hat Eigenschaft T, wenn es eine kompakte Menge ${\displaystyle Q\subset G}$ und ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ gibt, so dass es für jede unitäre Wirkung einen ${\displaystyle (Q,\epsilon )}$-invarianten Vektor gibt.

Beispiele

• Jede kompakte Gruppe hat Eigenschaft T. Man kann ${\displaystyle Q=G}$ und ${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {2}}}$ wählen.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ haben Eigenschaft T nicht.
• Eine lokal kompakte Gruppe ist genau dann kompakt, wenn sie mittelbar ist und Eigenschaft T hat.
• ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ hat genau dann Eigenschaft T, wenn ${\displaystyle n\geq 3}$ ist. Allgemeiner haben für jeden lokalen Körper ${\displaystyle K}$ die Gruppen ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,K)}$ mit ${\displaystyle n\geq 3}$ und ${\displaystyle Sp(2n,K)}$ mit ${\displaystyle n\geq 2}$ Eigenschaft T.
• Einfache Lie-Gruppen mit ${\displaystyle \operatorname {rk} _{\mathbb {R} }(G)\geq 2}$ haben Eigenschaft T.

Eigenschaften

• Jede lokal kompakte Gruppe mit Eigenschaft T ist kompakt erzeugt. Insbesondere sind Gitter mit Eigenschaft T endlich erzeugt.
• Wenn ${\displaystyle G}$ Eigenschaft T hat, dann hat ${\displaystyle G/N}$ Eigenschaft T für jeden Normalteiler ${\displaystyle N}$.
• Wenn ${\displaystyle G}$ lokal kompakt, ${\displaystyle H\subset G}$ abgeschlossen und ${\displaystyle G/H}$ ein endliches, reguläres, ${\displaystyle G}$-invariantes Borel-Maß hat, dann hat ${\displaystyle H}$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf ${\displaystyle G}$ zutrifft. Insbesondere hat ein Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ genau dann Eigenschaft T, wenn dies auf ${\displaystyle G}$ zutrifft.
• Nach dem Satz von Delorme-Guichardet hat eine Gruppe ${\displaystyle G}$ genau dann Eigenschaft T, wenn sie Eigenschaft FH hat: jede stetige Wirkung durch affine Isometrien auf einem Hilbert-Raum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ hat einen Fixpunkt. Äquivalent dazu muss ${\displaystyle H^{1}(G,\pi )=0}$ für alle unitären Darstellungen ${\displaystyle \pi \colon G\to U({\mathcal {H}})}$ sein.
• Aus Eigenschaft FH folgt beispielsweise, dass jede Wirkung der Gruppe als Isometrien eines Baumes oder eines hyperbolischen Raumes einen Fixpunkt haben muss, und dass jede orientierungserhaltende, ${\displaystyle C^{\infty }}$-Wirkung der Gruppe auf dem Kreis über die Wirkung einer endlichen zyklischen Gruppe faktorisiert.

Literatur

• B. Bekka, P. de la Harpe, A. Valette: Kazhdan's Property (T). Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-88720-5