Elf

Eigenschaften

• 11 ist die kleinste Primzahl p, für die die Mersenne-Zahl M_p = 2^p − 1 nicht prim, also keine Mersenne-Primzahl ist. 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89. Sie ist die kleinste 2-stellige Primzahl und das kleinste 2-stellige Primzahlpalindrom im Dezimalsystem. Aber die 11 ist nach einer strengeren Definition keine Palindromzahl (siehe Streng nicht-palindromische Zahl).
• Elf ist eine zyklische Primzahl, korrekt als zirkulare Primzahl bezeichnet. Bei einer zyklischen Primzahl entstehen durch zyklische Vertauschung ihrer Ziffern immer wieder Primzahlen.
• Für jede Zahl n > 11 gilt, dass wenigstens eine Primzahl p > 11 existiert, so dass p das Produkt ${\displaystyle n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)}$ teilt.

• Die Zahl 11 ist außerdem eine Størmer-Zahl.
• Bei den römischen Zahlen entspricht XI der Elf.

Rechenverfahren

• Im Dezimalsystem ist die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 11 leicht zu prüfen: Bilde die alternierende Quersumme der Zahl, d. h. addiere alle Ziffern an ungeraden Stellen und subtrahiere davon alle Ziffern an geraden Stellen (z. B. ist die alternierende Quersumme von ${\displaystyle 12345}$ gleich ${\displaystyle 5-4+3-2+1=3}$.). Die ursprüngliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme ein Vielfaches von 11 oder 0 ist.
• Es gibt eine zweite Möglichkeit, bei der die Zahl ganzzahlig durch 100 geteilt und der Rest dazu addiert wird. Die Rechenvorschrift ist solange auf das jeweilige Ergebnis anzuwenden, bis es kleiner als 100 ist. Die Zahl ist durch 11 teilbar, wenn das Ergebnis es auch ist, also kleines Vielfaches von 11 ist (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Beispiel für ${\displaystyle 5489:}$ ${\displaystyle 54+89=143}$ und ${\displaystyle 1+43=44}$. Ähnlich ist es ferner möglich die Zahl ganzzahlig durch 10 zu teilen und den Rest zu subtrahieren. Dies wird solange ausgeführt, bis man bei einem einstelligen Ergebnis angelangt ist. Ist dies 0, so ist die Zahl durch 11 teilbar. Beispiel für 5489: 548 − 9 = 539, 53 − 9 = 44 und 4 − 4 = 0 (die Zahl ist also durch 11 teilbar). Die Lösung der Division lässt sich aus den subtrahierten Zahlen ablesen, indem man sie in umgekehrter Reihenfolge aufschreibt und als Zahl zusammenfasst. In diesem Beispiel 499. Dies ist leicht zu sehen, da im Beispiel erst 99, dann 990 und schließlich 4400 abgezogen und somit eine schriftliche Division in umgekehrter Reihenfolge ausgeführt wird. Aus diesem Vorgehen folgt übrigens direkt die Formulierung mit der Wechselsumme, da bei jedem zweiten Schritt eine um die vorherige Zahl verringerte abgezogen wird, also auch direkt die erste subtrahiert und die zweite addiert werden kann, da ${\displaystyle c-(b-a)=c-b+a}$.
• Elfer- und Neunerprobe sind Verfahren, um Rechenfehler bei der Addition, Subtraktion oder Multiplikation natürlicher Zahlen zu erkennen. Der Vorteil dieser Proben liegt darin, dass sich die Richtigkeit des Ergebnisses einer langwierigen Rechnung anhand leichterer alternativer Rechenwege auf Glaubwürdigkeit prüfen bzw. gegebenenfalls die Fehlerhaftigkeit einer Rechnung nachweisen lässt. Da aber nicht alle Fehler erkannt werden, bedeutet ein Gelingen der Neuner- bzw. Elferprobe nicht, dass das Ergebnis korrekt ist.

Literatur

Ein Elfchen ist ein kurzes Gedicht mit einer vorgegebenen Form. Es besteht aus elf Wörtern, die in festgelegter Folge auf fünf Verszeilen verteilt werden.

• Elf Söhne ist eine Erzählung von Franz Kafka.
• Elf Minuten (Onze Minutos) ist ein Roman von Paulo Coelho. Der Titel des Romans bezieht sich auf die elf Minuten, die der eigentliche Geschlechtsverkehr mit den Freiern der Protagonistin einnimmt.

Film

• Elf Jahre und ein Tag ist ein deutscher Spielfilm von Gottfried Reinhardt aus dem Jahr 1963.
• Elf, Charakter aus der Netflix-Serie Stranger Things. Die Protagonistin heißt in der deutschen Synchronisation Elf, weil auf ihrem Arm die Nummer 011 tätowiert ist. Die Figur trägt im Original den Namen „Eleven“, was der englischen Bezeichnung für „Elf“ entspricht. Im Labor wurde sie als Testsubjekt 011 registriert.
• Das 11er Haus ist eine österreichische Fernsehserie von 2005. Die Zahl elf bezeichnet in der Serie das Wohnhaus mit der Nummer 11, das als zentraler Schauplatz dient.

Musik

• „Slash 11“ ist ein Schweizer DJ und Musikproduzent im Genre Melodic Techno
• Elf war eine deutsche Punkrock-Band aus Hamburg. Sie war benannt nach dem Initiator und Slime-Gitarristen Michael „Elf“ Mayer.
• Elf war eine US-amerikanische Bluesrock-Band, die von Ronnie James Dio unter dem Namen The Electric Elves gegründet wurde, schließlich auf The Elves abgekürzt und danach auf Elf geändert wurde.