Ein exotischer ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie eine glatte Mannigfaltigkeit, welche homöomorph, aber nicht diffeomorph zum euklidischen Raum ist, also aus topologischer Sicht identisch, jedoch mit einer exotischen glatten Struktur. Exotische ergeben sich durch die starken Unterschiede zwischen topologischen 4-Mannigfaltigkeiten und glatten 4-Mannigfaltigkeiten, insbesondere wenn Resultate im topologischen Fall gelten und im glatten Fall nicht. Ein solcher Fehlschlag bei der Übertragung liegt dann an einem exotischen , welcher sich durch Operationen wie Chirurgie, dort etwa als ausgeschnittene Scheibe, konstruieren lässt. In keiner anderen Dimensionen gibt es einen exotischen euklidischen Raum, also ist das Phänomen rein vierdimensional.
Exotische ergeben sich auf verschiedene Art aus der Kombination der Arbeiten von Michael Freedman zur Klassifikation von Freedman mit der Konstruktion der E8-Mannigfaltigkeit, eine nicht glättbare topologische Mannigfaltigkeit, und dem topologischen h-Kobordismus-Satz sowie den Arbeiten von Simon Donaldson zum Satz von Donaldson und dem Fehlschlag des glatten h-Kobordismus-Satzes. Beide wurden mit der Fields-Medaille im Jahr 1986 ausgezeichnet, wobei exotische als glattes Phänomen zu Simon Donaldson zugeordnet wurden.
Exotische kommen vom Fehlschlag der glatten Chirurgietheorie, in welchem die Einklebung einer Scheibe an ihre berandende Sphäre keine glatte 4-Mannigfaltigkeit ergeben muss. Exotische 7-Sphären, genannt Milnor-Sphären, kommen von einem vollkommen analogen Fehlschlag, in welchem die Einklebung einer Scheibe an ihre berandende Sphäre keine glatte 8-Mannigfaltigkeit ergeben muss. Doch die Folgerungen sind unterschiedlich: In hinteren Fall hat keine exotische glatte Struktur, also muss eine für die Erklärung des Fehlschlages haben. Im vorderen Fall hat keine exotische glatte Struktur nach dem Satz von Moise, also muss eine für die Erklärung des Fehlschlages haben.
Ein konkretes Beispiel ist die K3-Fläche , beschrieben durch die homogene Gleichung im Twistor-Raum . Nach der Klassifikation von Freedman ist diese homöomorph zur verbundenen Summe aus zweimal der orientierungsumgekehrten E8-Mannigfaltigkeit und dreimal der komplexen Fläche aus dem Riemannschen Zahlenkugel mit sich selbst. Obwohl eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ist, ist für keine. Für folgt das aus dem Satz von Donaldson und für wurde es ebenfalls von Simon Donaldson gezeigt, obwohl der Satz von Donaldson selbst nicht mehr anwendbar ist. (Ein einfacheres Argument ergab sich später mit Seiberg-Witten-Invarianten.) Daher muss eine glatte Chirurgie entlang der verbindenden Sphäre , um eine, zwei oder drei aus der glatten K3-Fläche zu entfernen, fehlschlagen. (Es ist eine offene Frage, ob das ebenfalls für verbundene Summen der K3-Fläche gilt, was als 11/8-Vermutung bekannt ist.) Im einfachsten Fall der Chirurgie aller drei ergibt dessen Fehlschlag einen exotischen in .
Die Schnittform der glatten komplexen Fläche , das einfachste Beispiel einer elliptischen Fläche bekannt als Dolgachev-Fläche, ist , wobei sich der Isomorphismus aus dem Satz von Hasse-Minkowski ergibt. Diese ist identisch mit jener der topologischen 4-Mannigfaltigkeit unter Verwendung des falschen zweiten komplexen projektiven Raumes, daher besagt die Klassifikation von Freedman, dass beide homöomorph sind. Insbesondere ist daher glättbar. Doch eine glatte Chirurgie zur Entfernung von resultiert in der nicht glättbaren Mannigfaltigkeit , was daraus folgt, dass ihre Schnittform negativ definit und nicht diagonalisierbar ist, was nach dem Satz von Donaldson im Fall von Glättbarkeit nicht möglich ist. Durch den Fehlschlag dieser Chirurgie ergibt sich ein exotischer in .
Die vorherige Konstruktion kann erweitert werden: Die Schnittform der glatten komplexen Fläche ist , die gleiche wie für die topologische 4-Mannigfaltigkeit , daher besagt die Klassifikation von Freedman, dass beide homöomorph sind und hintere insbesondere glättbar. Doch eine glatte Chirurgie zur Entfernung von resultiert wieder in der nicht glättbaren Mannigfaltigkeit . Durch den Fehlschlag dieser Chirurgie ergibt sich ein exotischer in .
Nach Michael Freedman gilt der vierdimensionale topologische h-Kobordismus-Satz, jedoch nach Simon Donaldson nicht der vierdimensionale glatte h-Kobordismus-Satz. Sei ein glatter h-Kobordismus zwischen glatten 4-Mannigfaltigkeit und , für welchen es keinen Diffeomorphismus gibt, obwohl es einen Homöomorphismus geben muss. In diesem Fall existiert ein offener Teilkobordismus mit einem Homomorphismus sowie ein kompakter zusammenziehbarer Teilkobordismus , sodass und außerhalb von tatsächlich glatt triviale Kobordismen sind, also es folgende Diffeomorphismen gibt:
Nun verbindet die beiden offenen Teilmengen und , welche homöomorph zu sind, jedoch nicht diffeomorph zu sein können, da daraus ein Diffeomorphismus folgen würde.