Faktorregel

Die Faktorregel ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form $f(x)=k\cdot u(x)$ , wobei $k$ eine reelle Zahl und $u(x)$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

(k\cdot u)'=k\cdot u'

.

Der konstante Faktor $k$ bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Aussage

Ist eine Funktion $u$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und $k$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion $f$ mit $f(x)=k\cdot u(x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar, und es gilt

f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0})\,.

Beispiel

Die Funktion $f(x)=5x^{2}$ setzt sich aus $u(x)=x^{2}$ und dem konstanten Faktor $k=5$ zusammen. Es ist $u'(x)=2x$ und mit der Faktorregel folgt

f'(x)=5\cdot 2x=10x

.

Herleitungen

Algebraische Herleitung

Sei $u$ eine von $x$ abhängige Funktion und die Funktion $f$ das $k$ -fache von $u$ , das heißt $f=k\cdot u$ . Ändert sich die unabhängige Variable um $\Delta x$ , so ändert sich $u$ um $\Delta u$ und $f$ entsprechend um das $k$ -fache, das heißt es ist $\Delta f=k\cdot \Delta u$ . Hieraus folgt, indem man durch $\Delta x$ teilt, die Gleichung

{\frac {\Delta f}{\Delta x}}=k\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}

.

Lässt man nun $\Delta x\to 0$ gehen, so erhält man die Faktorregel.

Geometrische Herleitung

Der Graph von $f=k\cdot u$ geht aus dem Graphen von $u$ durch Streckung in $y$ -Richtung um den Streckfaktor $k$ hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in $y$ -Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der $y$ -Kathete ver- $k$ -facht, während die $x$ -Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver- $k$ -fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.

Beweis

Sei $u(x)$ bei $x_{0}$ differenzierbar und $f(x)=k\cdot u(x)$ . Dann konvergiert ${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für $x\to x_{0}$ gegen $u'(x_{0})$ . Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch ${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für $x\to x_{0}$ , und zwar gegen $k\cdot u'(x_{0})$ . Damit folgt

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).

Siehe auch

Literatur

Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.

Einzelnachweise

↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331.
↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394.
1 2 Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167.
↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org).
↑ Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208.
↑ Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f.

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331.

[2] Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394.

[:0-3] 1 2 Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167.

[4] G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org).

[5] Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208.

[6] Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f.