Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Quotienten von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}}}$.

Aussage

Sind die Funktionen ${\displaystyle u(x)}$ und ${\displaystyle v(x)}$ von einem Intervall ${\displaystyle D}$ in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}\in D}$ mit ${\displaystyle v(x_{0})\neq 0}$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit

${\displaystyle f(x):={\frac {u(x)}{v(x)}}}$

an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {u'(x_{0})\cdot v(x_{0})-u(x_{0})\cdot v'(x_{0})}{(v(x_{0}))^{2}}}}$.

Beispiele

• Die Funktion ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{2-3x}}}$ ist Quotient der Funktionen

${\displaystyle u(x)=x^{2}-1\quad }$und ${\displaystyle \quad v(x)=2-3x}$,

welche differenzierbar sind mit

${\displaystyle u'(x)=2x\quad }$ und ${\displaystyle \quad v'(x)=-3}$.

Für ${\textstyle x\neq 2/3}$ erhält man durch Anwendung der Quotientenregel

${\displaystyle f'(x)={\frac {2x\cdot (2-3x)-(x^{2}-1)\cdot (-3)}{(2-3x)^{2}}}={\frac {-3\cdot x^{2}+4\cdot x-3}{(2-3x)^{2}}}.}$

• Die Ableitung des Tangens kann bestimmt werden, wenn die Ableitung von Sinus und Kosinus bekannt ist. Aus der Beziehung ${\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}$ folgt für alle ${\displaystyle \cos(x)\neq 0}$ mit der Quotientenregel

${\displaystyle \tan '(x)={\frac {\cos(x)\cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^{2}}}={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}.}$

Herleitung

Wenn ${\displaystyle x}$ um ${\displaystyle \Delta x}$ anwächst, ändert sich ${\displaystyle u}$ um ${\displaystyle \Delta u}$ und ${\displaystyle v}$ um ${\displaystyle \Delta v}$. Die Änderung des Quotienten ${\displaystyle u/v}$ beträgt damit

${\displaystyle {\frac {u+\Delta u}{v+\Delta v}}-{\frac {u}{v}}}$,

oder, indem man den Hauptnenner bildet,

${\displaystyle {\frac {(u+\Delta u)\cdot v-u\cdot (v+\Delta v)}{(v+\Delta v)\cdot v}}={\frac {\Delta u\cdot v-u\cdot \Delta v}{v^{2}+\Delta v\cdot v}}.}$

Dividiert man noch durch ${\displaystyle \Delta x}$, so erhält man den Differenzenquotienten von ${\displaystyle u/v}$ als

${\displaystyle {\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}\cdot v-u\cdot {\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v^{2}+\Delta v\cdot v}}.}$

Bildet man nun den Grenzübergang ${\displaystyle \Delta x\to 0}$, so erhält man schließlich die Ableitung

${\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}}.}$

Beweise

Siehe auch

• Kehrwertregel
• Produktregel
• Faktorregel
• Summenregel
• Kettenregel
• Umkehrregel

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Einführungsbuch zur Differentialrechnung erläutert. Einige Beispiele sind:

• Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 13. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 235–236.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 129
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 270–271 (Auszug (Google))

Weblinks

• Quotientenregel auf Wikibooks

Einzelnachweise

1. ↑ Forster, Lindemann: Analysis 1. Springer Spektrum, 2023, S. 235. 
2. ↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 187 (archive.org). 
3. ↑ Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1. 3. Auflage. Birkhäuser, Basel / Berlin 2010, ISBN 978-3-7643-7755-7, S. 321. 
4. ↑ Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. Oldenbourg, München 1967, S. 88. 
5. ↑ Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 236.