Reziprokenregel

Die Reziprokenregel oder Kehrwertregel dient zur Ableitung von Funktionen der Form $f (x) = \frac{1}{v (x)}$ , wobei $v$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

{(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}} .

Die Reziprokenregel kann als Spezialfall der Quotientenregel mit der konstanten Funktion $u (x) = 1$ im Zähler aufgefasst werden.

Aussage

Ist die Funktion $v (x)$ von einem Intervall $D$ in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x_{0}$ mit $v (x_{0}) \neq 0$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f$ mit $f (x) = 1 / v (x)$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und es gilt

f^{'} (x_{0}) = - \frac{v^{'} (x_{0})}{(v (x_{0}))^{2}} .

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

f (x) = \frac{1}{\sin (x)}

berechnet sich an allen Stellen $x$ mit $\sin (x) \neq 0$ nach der Reziprokenregel zu

f^{'} (x) = - \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}

.

Dabei wurde benutzt, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.

Beweis

Ist $v$ an $x_{0}$ differenzierbar, so ist $v$ dort insbesondere stetig. Unter der Voraussetzung $v (x_{0}) \neq 0$ gibt es deshalb eine Umgebung von $x_{0}$ , in der überall $v (x) \neq 0$ ist. In dieser Umgebung ist der Differenzenquotient

\frac{1 / v (x) - 1 / v (x_{0})}{x - x_{0}}

von $f (x) = 1 / v (x)$ wohldefiniert. Bildet man den Hauptnenner der Brüche im Zähler und wendet grundlegende Bruchrechengesetze an, so erhält man für den Differenzenquotienten die Darstellung

- \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}} \cdot \frac{1}{v (x) v (x_{0})}

.

Beim Grenzübergang $x \to x_{0}$ strebt der erste Faktor gegen $v^{'} (x_{0})$ und der zweite Faktor gegen $1 / v (x_{0})^{2}$ . Also ist

lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = - \frac{v^{'} (x_{0})}{v (x_{0})^{2}} .

Einzelnachweise

↑ Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.
↑ Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 209.

[1] Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 17. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9, S. 271.

[2] Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 209.