Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Definition

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}}$, also die Menge aller Paare

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} \ {\mbox{teilerfremd}},q\geq 0\right\}}$,

wobei ${\displaystyle \infty }$ als ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$ aufgefasst wird.

Zwei Knoten ${\displaystyle {\frac {a}{c}}}$ und ${\displaystyle {\frac {b}{d}}}$ sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\pm 1}$

gilt.

Anwendungen

• Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme ${\displaystyle F_{n}}$ beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung ${\displaystyle \cup _{n}F_{n}}$ aller Farey-Diagramme.
• In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
• Die Modulgruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ und ihr Quotient ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\mathbb {Z} )/\pm I}$ wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}}$ und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
• Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \left\{\infty \right\}=P^{1}\mathbb {Q} \subset P^{1}\mathbb {R} =\partial _{\infty }H^{2}}$ und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
• Die Coxeter-Gruppe ${\displaystyle G=\langle a,b,c\vert a^{2}=b^{2}=c^{2}=1\rangle }$ (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch

${\displaystyle a\to \pm \left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right),b\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-1\\2&-1\end{array}}\right),c\to \pm \left({\begin{array}{cc}1&-2\\1&-1\end{array}}\right)}$,

jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf der hyperbolischen Ebene.

• Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ auf dem Farey-Graphen.

Weblinks

• The Farey diagram (PDF; 675 kB)
• Distance formula in Farey graph

Einzelnachweise

1. ↑ The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
2. ↑ The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere