Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt und bei der jede weitere Zahl die Summe der beiden ihr vorangehenden Zahlen ist. In moderner Schreibweise wird diese Folge zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.

Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge in der Natur beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.

Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:

Aufgrund der Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes $\Phi =1{,}6180\ldots$ (beispielsweise  13 : 8 = 1,6250;  21 : 13 ≈ 1,6154;  34 : 21 ≈ 1,6190;  55 : 34 ≈ 1,6176; etc.). Diese Näherung ist alternierend, d. h., die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als $\Phi$ .

Definition der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge $f_{1},\,f_{2},\,f_{3},\ldots$ ist durch das rekursive Bildungsgesetz

f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}

für

n\geq 3

mit den Anfangswerten

f_{1}=f_{2}=1

definiert. Das bedeutet in Worten:

Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert $1$ vorgegeben.
Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.

Daraus ergibt sich:

n	f_n	n	f_n	n	f_n	n	f_n	n	f_n
1	1	11	89	21	10 946	31	1 346 269	41	165 580 141
2	1	12	144	22	17 711	32	2 178 309	42	267 914 296
3	2	13	233	23	28 657	33	3 524 578	43	433 494 437
4	3	14	377	24	46 368	34	5 702 887	44	701 408 733
5	5	15	610	25	75 025	35	9 227 465	45	1 134 903 170
6	8	16	987	26	121 393	36	14 930 352	46	1 836 311 903
7	13	17	1 597	27	196 418	37	24 157 817	47	2 971 215 073
8	21	18	2 584	28	317 811	38	39 088 169	48	4 807 526 976
9	34	19	4 181	29	514 229	39	63 245 986	49	7 778 742 049
10	55	20	6 765	30	832 040	40	102 334 155	50	12 586 269 025

Stellt man die Definition um, so erhält man

f_{n}\!=\!f_{n-1}\!+\!f_{n-2}\;\longrightarrow \;f_{n}\!-\!f_{n-1}\!=\!f_{n-2}\;\longrightarrow \;f_{n-2}\!=\!f_{n}\!-\!f_{n-1}\;\longrightarrow \;f_{n}\!=\!f_{n+2}\!-\!f_{n+1}

,

was als (rückwärts-)rekursive Bildungsvorschrift die eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und negative Indizes erlaubt.

Man erhält:

f_{0}\;\;=f_{2}-f_{1}\;\;=1-1=0

,

f_{-1}=f_{1}-f_{0}\;\;=1-0=1

,

f_{-2}=f_{0}-f_{-1}=0-1=-1

…

bzw. allgemeiner

f_{-n}=(-1)^{n+1}\;f_{+n}\quad

für alle

n\in \mathbb {Z}

wie auch

f_{+n}=(-1)^{n+1}\;f_{-n}\,.

Setzt man diese allgemeine Formel in (rückwärts-)rekursive Bildungsvorschrift $f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1}$ ein, erhält man

f_{n}=f_{n+2}-f_{n+1}

(-1)^{n+1}f_{-n}=(-1)^{n+2+1}f_{-n-2}-(-1)^{n+1+1}f_{-n-1}\,.

Teilt man die Gleichung durch $(-1)^{n+1}$ , erhält man

f_{-n}\;=\;(-1)^{2}f_{-n-2}-(-1)^{1}f_{-n-1}\;=\;f_{-n-2}+f_{-n-1}\,.

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

$\dotsb$	$f_{\!-9}$	$f_{\!-8}$	$f_{\!-7}$	$f_{\!-6}$	$f_{\!-5}$	$f_{\!-4}$	$f_{\!-3}$	$f_{\!-2}$	$f_{\!-1}$	$f_{0}$	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$	$f_{5}$	$f_{6}$	$f_{7}$	$f_{8}$	$f_{9}$	$\dotsb$
$\dotsb$	+34	−21	+13	−8	+5	−3	+2	−1	+1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	$\dotsb$

und heißt Folge der negaFibonacci-Zahlen.

Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen und auf Vektorräume möglich.

Eigenschaften

Zu den zahlreichen bemerkenswerten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen gehört, dass sie dem Benfordschen Gesetz genügen.

Näherung an den Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, kommen die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt

{\displaystyle \Phi

beliebig nahe. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große Zahlen $n$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\Phi ^{n+1} \over \Phi ^{n}}=\Phi

Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung:

{\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}=[1;1]\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}=[1;1,1]\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}=[1;1,1,1]

mit der $[\,;\,]$ -Notation aus dem Artikel Kettenbruch.

Da diese Quotienten gegen den Goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche periodische Kettenbruch darstellen:

\Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}=[1;{\overline {1}}]

Die Zahl $\Phi$ ist irrational. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich $\Phi$ durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen, bei denen $f_{0}$ und $f_{1}$ beliebige natürliche Zahlen annehmen.

Beziehungen zwischen den Folgengliedern

Identitäten

$f_{m+n}=f_{n+1}\;f_{m}+f_{n}\;f_{m-1}$
$f_{m+n}=f_{n}\;L_{m}+(-1)^{m+1}\;f_{n-m}$ mit der Lucas-Folge $L_{m}=f_{m+1}+\;f_{m-1}=\Phi ^{m}+\Psi ^{m}$ (mit ${\displaystyle \Psi$ ), insbesondere:
$f_{2n}=f_{n}\;L_{n}=f_{n}\;(f_{n+1}+f_{n-1})$
$f_{2n+1}=f_{n}^{2}+f_{n+1}^{2}$
$f_{n}^{2}-f_{n+k}\;f_{n-k}=(-1)^{n-k}f_{k}^{2}$ (Identität von Catalan)
$f_{n+1}\;f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}$ (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität)
$f_{m}\;f_{n+1}-f_{n}\;f_{m+1}=(-1)^{n}f_{m-n}$ (Identität von d’Ocagne)

Teilbarkeit

$\operatorname {ggT} (f_{m},f_{n})=f_{\operatorname {ggT} (m,n)}$
Je zwei benachbarte Fibonacci-Zahlen sind teilerfremd, d. h. $\operatorname {ggT} (f_{n},f_{n+1})=1$ .
$m\mid n\Rightarrow f_{m}\mid f_{n}$ ; für $m>2$ gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann $f_{n}$ für $n>4$ nur dann eine Primzahl sein, wenn $n$ eine Primzahl ist.
$2\mid f_{n}\Leftrightarrow 3\mid n$ (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
$3\mid f_{n}\Leftrightarrow 4\mid n$ (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
$4\mid f_{n}\Leftrightarrow 6\mid n$ (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
$5\mid f_{n}\Leftrightarrow 5\mid n$ (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
$7\mid f_{n}\Leftrightarrow 8\mid n$ (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
$16\mid f_{n}\Leftrightarrow 12\mid n$ (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)

Für die Teilbarkeit durch Primzahlen

p

gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols:

$p\mid f_{p-1}\Leftrightarrow \left({\frac {5}{p}}\right)=1$
$p\mid f_{p+1}\Leftrightarrow \left({\frac {5}{p}}\right)=-1$

Summenformeln

$\sum _{i=0}^{n}f_{i}=f_{n+2}-1$
$\sum _{i=1}^{2n}(-1)^{i-1}\;f_{i}=-f_{2n-1}+1$
$\sum _{i=1}^{2n+1}(-1)^{i-1}\;f_{i}=f_{2n}+1$
$\sum _{i=1}^{n}f_{i}^{2}=f_{n}\;f_{n+1}$
$\sum _{i=1}^{n}f_{2i-1}=f_{2n}$
$\sum _{i=1}^{n}f_{2i}=f_{2n+1}-1$
$\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}f_{i}=f_{2n}$
$\sum _{i=0}^{n}{\binom {n-i}{i}}=f_{n+1}$

Summenformel für negative Indizes:

$\sum _{i=0}^{n}f_{-i}=1-f_{-(n-1)}$
$\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}f_{-i}=f_{n}$

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

Reziproke

${\frac {1}{f_{2n}}}={\sqrt {5}}\,\left({\frac {\Psi ^{2n}}{1-\Psi ^{2n}}}-{\frac {\Psi ^{4n}}{1-\Psi ^{4n}}}\right)$

Zeckendorf-Theorem

Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl $n>0$ eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen $f_{i}$ geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes $n\in \mathbb {N} ,n>0$ eine eindeutige Darstellung der Form

n=\sum _{i=2}^{k}c_{i}f_{i}

mit

c_{i}\in \{0,1\}

und

c_{i}c_{i+1}=0

für alle

i

.

Die entstehende Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in 2+\mathbb {N} _{0}}$ von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Sehr eng hängt damit der Fibonacci-Kode zusammen.

Berechnung

Formel von Moivre-Binet

Das explizite Bildungsgesetz für die Glieder der Fibonacci-Folge wurde unabhängig voneinander von den französischen Mathematikern Abraham de Moivre im Jahr 1718 und Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1843 entdeckt. Dazwischen war es aber auch den Mathematikern Leonhard Euler und Daniel Bernoulli bekannt, Letzterer lieferte 1728 auch den vermutlich ersten Beweis.

Die Fibonacci-Zahlen lassen sich direkt mittels

f_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\Psi ^{n}}{\Phi -\Psi }},\qquad n\in \mathbb {Z}

berechnen, wobei $\Phi ,\Psi$ die beiden Lösungen der charakteristischen Gleichung $x^{2}-x-1=0$ sind. Mit

\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

\Psi =1-\Phi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-\Phi ^{-1}

gilt explizit:

f_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\Psi ^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right)

Bemerkenswert ist das Zusammenspiel zweier irrationaler Zahlen $\Phi$ und $\Psi$ , das zu einem ganzzahligen Ergebnis führt.

Näherungsformel für große Zahlen

Der Einfluss von $\Psi$ geht rasch gegen Null, bspw. ist $-\Psi /{\sqrt {5}}\approx +0{,}276$ . Das kann man verwenden, um die Berechnung abzukürzen, indem man die kleine Zahl $-\Psi ^{n}/{\sqrt {5}}$ einfach weglässt und das noch verbleibende $\Phi ^{n}/{\sqrt {5}}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}/{\sqrt {5}}$ kaufmännisch zur nächstgelegenen ganzen Zahl rundet. Mit Hilfe der Gaußschen Abrundungsfunktion $\lfloor \,\cdot \,\rfloor$ lässt sich das so formalisieren:

f_{n}={\Bigg \lfloor }{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}{\Bigg \rfloor }

für alle

n\geq 0

Induktiver Beweis

Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Wegen ${\tfrac {\Phi ^{0}-\Psi ^{0}}{\sqrt {5}}}=0=f_{0}$ und ${\tfrac {\Phi ^{1}-\Psi ^{1}}{\sqrt {5}}}=1=f_{1}$ ist der Induktionsanfang erfüllt. Angenommen, die Formel gelte für alle Werte von $0$ bis $n$ (starke Induktionsvoraussetzung). Dann gilt sie notwendigerweise auch für $n+1$ :

{\begin{aligned}f_{n-1}+f_{n}&={\frac {\Phi ^{n-1}-\Psi ^{n-1}+\Phi ^{n}-\Psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\Phi ^{n-1}(1+\Phi )-\Psi ^{n-1}(1+\Psi )}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\Phi ^{n-1}(\Phi ^{2})-\Psi ^{n-1}(\Psi ^{2})}{\sqrt {5}}}\\&={\frac {\Phi ^{n+1}-\Psi ^{n+1}}{\sqrt {5}}}\\&=f_{n+1}\end{aligned}}

Dabei wird benutzt, dass $\Phi$ und $\Psi$ der charakteristischen Gleichung $x^{2}=x+1$ genügen.

Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion muss nun die Formel für alle $n$ gelten.

Herleitung über ein Eigenwertproblem

Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem Eigenwertproblem in der linearen Algebra hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}f_{0}\\f_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{pmatrix}},f_{0}=0{\text{ und }}f_{1}=1{\text{ mit }}n\geq 0

Nun transformiert man die Matrix $A={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}$ in eine Diagonalmatrix $D$ durch Betrachtung als Eigenwertproblem.

Es gilt $A=TDT^{-1}$ , wobei $T$ die Matrix der Eigenvektoren und $D$ die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten ist. Damit folgt:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}f_{0}\\f_{1}\end{pmatrix}}&=A^{n}{\begin{pmatrix}f_{0}\\f_{1}\end{pmatrix}}=\left(TDT^{-1}\right)^{n}{\begin{pmatrix}f_{0}\\f_{1}\end{pmatrix}}=TD^{n}T^{-1}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}&{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}&0\\0&{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2{\sqrt {5}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2{\sqrt {5}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}&{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}&0\\0&\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2{\sqrt {5}}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2{\sqrt {5}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}&{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\\\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}&\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2{\sqrt {5}}}}\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2{\sqrt {5}}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\\-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}\right]\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Herleitung mittels Differenzengleichung

Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der linearen Differenzengleichungen:

Sei $C_{n}=x^{n},n\in \mathbb {N} _{0}$ eine geometrische Folge, so ergibt sich:

C_{n+1}-C_{n}-C_{n-1}=x^{n+1}-x^{n}-x^{n-1}=(x^{2}-x-1)x^{n-1}

Wenn also $x$ so gewählt wird, dass die charakteristische Gleichung $x^{2}-x-1=0$ erfüllt ist (also $x=\Phi$ oder $x=\Psi$ ), wird $C_{n+1}=C_{n}+C_{n-1}$ , d. h., $C_{n}$ erfüllt die Fibonacci-Rekursion mit dem Rekursionsanfang $C_{0}=1$ und $C_{1}=x$ .

Die durch $A_{0}=1$ , $A_{1}=\Phi$ , $A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}$ rekursiv definierte Folge hat die explizite Darstellung $A_{n}=\Phi ^{n}$ . Ebenso $B_{0}=1$ , $B_{1}=\Psi$ , $B_{n}=\Psi ^{n}$ .

Mit $A_{n}$ und $B_{n}$ genügt wegen der Superpositionseigenschaft auch jede Linearkombination $L_{n}=\alpha A_{n}+\beta B_{n}$ der Fibonacci-Rekursion $L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}$ . Mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems ergibt sich $\alpha ={\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$ und $\beta =-{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}$ , damit $L_{0}={\tfrac {\Phi ^{0}-\Psi ^{0}}{\sqrt {5}}}=0=f_{0}$ und $L_{1}={\tfrac {\Phi ^{1}-\Psi ^{1}}{\sqrt {5}}}=1=f_{1}$ . Folglich ergibt sich explizit $F_{n}={\tfrac {A_{n}-B_{n}}{\sqrt {5}}}={\tfrac {\Phi ^{n}-\Psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ .

Für $\alpha =\beta =1$ ergibt sich $L_{0}=2$ und $L_{1}=1$ , d. h. die klassische Lucas-Folge mit explizit $L_{n}=A_{n}+B_{n}=\Phi ^{n}+\Psi ^{n}$ .

Herleitung mittels z-Transformation

Da Differenzengleichungen sehr elegant mittels z-Transformation beschrieben werden können, kann man die z-Transformation auch zur Herleitung der expliziten Formel für Fibonacci-Zahlen einsetzen. Im Artikel Einsatz der z-Transformation zur Bestimmung expliziter Formeln von Rekursionsvorschriften wird die allgemeine Vorgehensweise beschrieben und dann am Beispiel der Fibonacci-Zahlenfolge erläutert.

Alternierende Näherung

Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder der Fibonacci-Folge sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt:

{\frac {f_{2n}}{f_{2n-1}}}<\Phi <{\frac {f_{2n+1}}{f_{2n}}}

Herleitung
Mithilfe der Formel von Moivre-Binet lässt sich eine einfach Herleitung angeben. Denn für die Zahlen $\Phi ,\Psi$ der genannten Formel und natürliche $n>0$ gilt: $-\Phi <0<-\Psi \qquad \|\cdot \Psi ^{2n}>0$ $-\Phi \Psi ^{2n}<-\Psi ^{2n+1}\qquad \|+\Phi ^{2n+1}$ $\Phi ^{2n+1}-\Phi \Psi ^{2n}=\Phi (\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})<\Phi ^{2n+1}-\Psi ^{2n+1}\qquad \|:(\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})>0\quad$ (1) $\Phi <{\frac {\Phi ^{2n+1}-\Psi ^{2n+1}}{\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}}}={\frac {f_{2n+1}}{f_{2n}}}$ , da im Doppelbruch der Darstellung der Folgeglieder mit Moivre-Binet der gemeinsame Nenner $\Phi -\Psi$ verschwindet. – Entsprechend: $-\Phi <0<-\Psi \qquad \|\cdot \Psi ^{2n-1}<0$ $-\Phi \Psi ^{2n-1}>-\Psi ^{2n}\qquad \|+\Phi ^{2n}$ $\Phi ^{2n}-\Phi \Psi ^{2n-1}=\Phi (\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1})>\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}\qquad \|:(\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1})>0$ $\Phi >{\frac {\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n}}{\Phi ^{2n-1}-\Psi ^{2n-1}}}={\frac {f_{2n}}{f_{2n-1}}}\quad$ (2) Die Ungleichungen (1) und (2) ergeben zusammen die Behauptung.

Die Differenz dieser oberen und unteren Schranke von $\Phi$ konvergiert für wachsende $n$ rasch gegen Null wegen

{\frac {f_{2n+1}}{f_{2n}}}-{\frac {f_{2n}}{f_{2n-1}}}={\frac {f_{2n+1}f_{2n-1}-f_{2n}^{2}}{f_{2n}f_{2n-1}}}={\frac {1}{f_{2n}f_{2n-1}}}.

Bei der Vereinfachung des Zählers wurde die Identität von Cassini nebst $(-1)^{2n}=1$ verwendet.

Erzeugende Funktion

Eine erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen ist

\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}={\frac {1}{\Phi -\Psi }}{\Bigl (}{\frac {1}{1-\Phi z}}-{\frac {1}{1-\Psi z}}{\Bigr )}.

Die auf der linken Seite stehende Potenzreihe konvergiert für $|z|<1/\Phi =0{,}618\ldots$ . Über die angegebene Partialbruchzerlegung erhält man wieder die Formel von Moivre-Binet.

Herleitung der erzeugenden Funktion
Für $G(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}$ ist $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n+1}z^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}z^{n-1}=z^{-1}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}z^{n}=z^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}={\frac {G(z)}{z}},$ da $f_{0}=0;$ $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n+2}z^{n}=\sum _{n=2}^{\infty }f_{n}z^{n-2}=z^{-2}\sum _{n=2}^{\infty }f_{n}z^{n}=z^{-2}{\Bigl (}-z+\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}{\Bigr )}={\frac {G(z)-z}{z^{2}}},$ da $f_{0}=0$ und $f_{1}=1.$ Die Rekursionsbedingung $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ induziert daher $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n+2}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n+1}z^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}\Longleftrightarrow$ ${\frac {G(z)-z}{z^{2}}}={\frac {G(z)}{z}}+G(z)\quad \mid \cdot z^{2}$ $G(z)-z=z\cdot G(z)+z^{2}\cdot G(z)\quad \mid$ ausklammern: $G(z)\cdot (1-z-z^{2})=z.$ Nach Division durch das Polynom $1-z-z^{2},$ das nicht das Nullpolynom ist, folgt die angegebene Form.

Mit einer geeigneten erzeugenden Funktion lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten darstellen:

f_{n}=\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\tbinom {n-k-1}{k}}\quad (n\geq 1)

Wegen $\textstyle {\tbinom {n-k-1}{k}}=0$ für $\textstyle n-k-1\geq 0$ und $\textstyle k>n-k-1$ kann auch ohne Gaußklammern geschrieben werden:

f_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\tbinom {n-k-1}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\tbinom {n-k}{k-1}}\quad (n\geq 1)

Herleitung
Die erzeugende Funktion kann auch geschrieben werden: $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}=0+\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}\quad$ (1) für dem Betrage nach hinreichend kleine $z$ gilt: ${\displaystyle \sum _{l=1}^{\infty }(z+z^{2})^{l}={\frac {z+z^{2}}{1-(z+z^{2})}}={\frac {z(1+z)}{1-z-z^{2}}}\quad \mid$ $\sum _{l=1}^{\infty }z^{l}(1+z)^{l-1}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}\quad$ (2) Gleichsetzen ergibt: $\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}z^{n}=\sum _{l=1}^{\infty }z^{l}(1+z)^{l-1}=\sum _{l=1}^{\infty }z^{l}\sum _{k=0}^{l-1}{\tbinom {l-1}{k}}z^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\tbinom {n-k-1}{k}}$ , wobei [] Gaußklammern sind. Bei der Umformung wurden der binomische Lehrsatz und die Umsummierung $n=k+l$ mit $\textstyle k\leq l-1\Rightarrow k\leq {\frac {n-1}{2}}$ verwendet. Koeffizientenvergleich ergibt den angegebenen Zusammenhang.

Die Schreibweise $G(z)$ für die erzeugende Funktion erlaubt auch die Darstellung

f_{n}={\frac {1}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}G(0).

Herleitung
In der Darstellung von $G(z)$ als unendliche Summe ist der Summand mit $k=0$ verzichtbar, siehe vorherige Herleitung. Die $n$ -te Ableitung der erzeugenden Funktion ist mit der Potenzregel: ${\frac {d^{n}}{dz^{n}}}G(z)=$ $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}f_{k}z^{k}=$ $\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}f_{k}z^{k}+{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}f_{n}z^{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}f_{k}z^{k}=$ $0+n!f_{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {k!}{(k-n)!}}f_{n}z^{k-n}$ Für $z=0$ verschwindet die Summe der letzten Zeile. Für dieses $z$ entsteht mit Division durch $n!\neq 0$ die Behauptung.

Verbindung zum reziproken Wert der Zahl 89

Wertet man die erzeugende Funktion an der Stelle $x=1/10$ aus, so erhält man $10/89$ , folglich lässt sich $89^{-1}$ in eine unendliche Summe von Fibonacci-Zahlen zur Basis $10^{-n-1}$ zerlegen.

{\begin{aligned}1/89&=0{,}01123595505617977528089887640449\dots \\&=0\cdot 10^{-1}+1\cdot 10^{-2}+1\cdot 10^{-3}+2\cdot 10^{-4}+3\cdot 10^{-5}+5\cdot 10^{-6}+8\cdot 10^{-7}+13\cdot 10^{-8}+21\cdot 10^{-9}+\dots \end{aligned}}

Allerdings gilt $\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {f_{i}}{b^{i}}}={\frac {b}{b^{2}-b-1}}$ , was unendlich viele Lösungen dieser Art im Dezimalsystem wie

{\begin{aligned}1/9899&=0{,}000102030508132134559046368320032\dots \\&=0\cdot 10^{-2}+1\cdot 10^{-4}+1\cdot 10^{-6}+2\cdot 10^{-8}+3\cdot 10^{-10}+5\cdot 10^{-12}+8\cdot 10^{-14}+13\cdot 10^{-16}+21\cdot 10^{-18}+\dots \end{aligned}}

und in jeder anderen Basis erlaubt.

Darstellung mit Matrizen

Die Fibonacci-Zahlen tauchen auch als Einträge der Potenzen der Matrix $A={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}$ auf:

{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}f_{n+1}&f_{n}\\f_{n}&f_{n-1}\end{pmatrix}}

Aus der Relation $A^{m+n}=A^{m}A^{n}$ ergibt sich beispielsweise die erste oben angegebene Formel für $f_{m+n}$ . $A$ beschreibt zugleich die Summationsvorschrift der Fibonacci-Folge, denn ihr Produkt mit einem Paar aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen (als Spaltenmatrix geschrieben) ergibt das nächste Paar; entsprechend erzeugt $A^{n}$ das $n$ -te Paar aus dem Startpaar $(0,1)$ . Dies und die Tatsache, dass die Eigenwerte von $A$ gerade der Goldene Schnitt und dessen Kehrwert (Letzterer mit negativem Vorzeichen) sind, führen wieder auf die oben genannte Formel von Binet.

Verwandtschaft mit dem Pascalschen Dreieck

Die Fibonacci-Zahlen können mithilfe des Pascalschen Dreiecks beschrieben werden. Um die $n$ -te Fibonacci-Zahl zu bestimmen, nimmt man aus der $n$ -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks jede zweite Zahl und gewichtet sie mit der entsprechenden Fünfer-Potenz – anfangend mit 0 in aufsteigender Reihenfolge, d. h. $5^{0}$ , $5^{1}$ , $5^{2}$ usw. Anschließend addiert man diese gewichteten Elemente zusammen und dividiert durch ${\textstyle 2^{n-1}}$ .

Das Bild unten veranschaulicht die Berechnung der ersten sieben Fibonacci-Zahlen aus dem Pascalschen Dreieck. Zum leichteren Verständnis sind die nicht benutzten Elemente des Pascalschen Dreiecks im Bild ausgegraut, die Gewichtung mit den aufsteigenden Fünfer-Potenzen rot und die Exponenten $2^{n-1}$ cyan hervorgehoben.

n	Pascalsches Dreieck gewichtet mit Potenzen von 5																			2ⁿ⁻¹	Fibonacci-Zahlen
0										1											→ F(0) = 0 (optional)
1									1		1·5⁰									001	→ F(1) = (1·5⁰) / 1 = 1
2								1		2·5⁰		1								002	→ F(2) = (2·5⁰) / 2 = 1
3							1		3·5⁰		3		1·5¹							004	→ F(3) = (3·5⁰ + 01·5¹) / 4 = 2
4						1		4·5⁰		6		4·5¹		1						008	→ F(4) = (4·5⁰ + 04·5¹) / 8 = 3
5					1		5·5⁰		10		10·5¹		5		1·5²					016	→ F(5) = (5·5⁰ + 10·5¹ +001·5²) / 16 = 5
6				1		6·5⁰		10		20·5¹		5		6·5²		1				032	→ F(6) = (6·5⁰ + 20·5¹ +006·5²) / 32 = 8
7			1		7·5⁰		21		35·5¹		35		21·5²		7		1·5³			064	→ F(7) = (7·5⁰ + 35·5¹ +021·5² + 01·5³) / 064 = 13
8		1		8·5⁰		28		56·5¹		70		56·5²		28		8·5³		1		128	→ F(8) = (8·5⁰ + 56·5¹ +056·5² + 08·5³) / 128 = 21
9	1		9·5⁰		36		84·5¹		126		126·5²		84		36·5³		9		1·5⁴	256	→ F(9) = (9·5⁰ + 84·5¹ +126·5² + 36·5³ + 1·5⁴) / 256 = 34

Herleitung
Ausgehend von der expliziten Formel für die Fibonacci-Zahlen (s. Formel von Moivre-Binet weiter oben in diesem Artikel) $f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot \left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right),\quad n\geq 0$ kann man zunächst den Term $2^{n}$ im Nenner ausklammern und die verbliebene Differenz mittels Binomialkoeffizienten ausschreiben und anschließend zusammenfassen: ${\begin{aligned}f_{n}&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot \left(\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {5}}\right)^{n}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}1^{n-i}\cdot \left({\sqrt {5}}\right)^{i}-\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}1^{n-i}\cdot \left(-{\sqrt {5}}\right)^{i}\right)\\&={\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot 2^{n}}}\cdot \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\cdot \left(\left({\sqrt {5}}\right)^{i}-\left(-{\sqrt {5}}\right)^{i}\right)\\\end{aligned}}$ Für die Differenz unter dem Summenzeichen gilt $\left({\sqrt {5}}\right)^{i}-\left(-{\sqrt {5}}\right)^{i}={\begin{cases}0\ &{\text{falls }}i\,{\text{gerade}}\\2\cdot \left({\sqrt {5}}\right)^{i}\ &{\text{falls }}i\,{\text{ungerade}}\end{cases}},$ sodass man die Summe auf ungerade $i$ reduzieren kann: ${\begin{aligned}f_{n}&={\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot 2^{n}}}\cdot \sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j+1}}\cdot 2\cdot \left({\sqrt {5}}\right)^{2j+1}\\&={\frac {1}{{\sqrt {5}}\cdot 2^{n}}}\cdot \sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j+1}}\cdot \left({\sqrt {5}}\right)^{2j}\cdot 2{\sqrt {5}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}\cdot 2}{{\sqrt {5}}\cdot 2^{n}}}\cdot \sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j+1}}\cdot \left(\left({\sqrt {5}}\right)^{2}\right)^{j}\\&={\frac {1}{2^{n-1}}}\cdot \sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j+1}}\cdot 5^{j}.\end{aligned}}$ Der ${\sqrt {5}}$ -Term kürzt sich also raus und unter dem Summenzeichen bleiben nur Fünfer-Potenzen. Das erklärt das scheinbare Paradoxon, dass die explizite Formel für Fibonacci-Zahlen mit ihren ${\sqrt {5}}$ -Termen überhaupt ganze Zahlen liefert. Die Abrundung $\lfloor n/2\rfloor$ in der Summen-Obergrenze ist übrigens notwendig, damit die Indizierung nicht über den Wert $n$ hinausgeht und die ursprüngliche Summenbegrenzung eingehalten wird. Vergleicht man die unter dem Summenzeichen verbliebenen Binomialkoeffizienten mit denen im Pascalschen Dreieck, erkennt man, dass es sich dabei um jeden zweiten Koeffizienten in der entsprechenden Zeile des Dreiecks handelt (wie es im Bild oben visualisiert ist). Man kann die Formel also auch als $f_{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}\cdot \sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }P_{n,2j+1}\cdot 5^{j}$ schreiben mit der Bezeichnung $P_{n,k}$ für einen Binomialkoeffizienten an der $k$ -ten Stelle in der $n$ -ten Zeile des Pascalschen Dreiecks (beide ab Null gezählt!). Als Beispiel erhält man für die 7-te Fibonacci-Zahl etwa den Wert ${\begin{aligned}f_{7}&={\frac {1}{2^{6}}}\cdot \sum _{j=0}^{3}P_{7,2j+1}\cdot 5^{j}\\&={\frac {1}{64}}\cdot \left(P_{7,1}\cdot 5^{0}+P_{7,3}\cdot 5^{1}+P_{7,5}\cdot 5^{2}+P_{7,7}\cdot 5^{3}\right)\\&={\frac {1}{64}}\cdot \left(7\cdot 1+35\cdot 5+21\cdot 25+1\cdot 125\right)={\frac {832}{64}}=13.\end{aligned}}$

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Die Summen der hier grün, rot und blau markierten flachen „Diagonalen“ im Pascalschen Dreieck ergeben jeweils eine Fibonacci-Zahl. In diesem Beispiel ist die Summe der grünen Diagonale gleich 13, die Summe der roten Diagonale gleich 21, die Summe der blauen Diagonale gleich 34. Dass sich die „Diagonale“ manchmal nicht von einem zum anderen Ende durchziehen lässt, wie im Fall der roten Diagonale, ist unerheblich. Allgemein gilt für $n\geq 1$ :

f_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}=\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\binom {n-k-1}{n-2k-1}}

Reihen von Reziproken

Da die Fibonacci-Zahlen exponentiell mit dem Index wachsen, konvergieren die reziproken Reihen absolut.

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit geradem Index lässt sich mithilfe der Lambert-Reihe

L(q):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}

bei

|q|<1

ausdrücken:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{2n}}}={\sqrt {5}}{\bigl [}L{\bigl (}\Psi ^{2}{\bigr )}-L{\bigl (}\Psi ^{4}{\bigr )}{\bigr ]}

≈ 1,535370508836252985029852896651599

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Fibonacci-Zahlen mit ungeradem Index lässt sich durch eine Jacobische Thetafunktion ausdrücken:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}{\bigl [}\vartheta _{10}{\bigl (}\Psi ^{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{2}

≈ 1,824515157406924568142158406267328

Ebenfalls geschlossen lässt sich die Formel für die Summe darstellen, wenn der Nenner um 1 erhöht wird:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1+f_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}

Die unendliche Summe der Kehrwerte aller Fibonacci-Zahlen

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{2n-1}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{2n}}}

≈ 3,359885666243177553172011302918927

ist irrational (André-Jeannin; 1989).

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fibonaccizahlen findet sich bei Borwein:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{f_{n}}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\Bigl \{}{\bigl [}\vartheta _{10}{\bigl (}\Psi ^{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{4}-{\bigl [}\vartheta _{01}{\bigl (}\Psi ^{2}{\bigr )}{\bigr ]}^{4}+1{\Bigr \}}

≈ 2,426320751167241187741569412926620

Zudem zeigten Good (1974) und Hoggatt (1976):

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{f_{2^{n}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}}

Verallgemeinerungen

Die klassische („kanonische“) Fibonacci-Folge ist durch drei Kriterien charakterisiert:

Eine lineare Iteration, welche die beiden vorangehenden Folgenglieder einbezieht
Eine Linearkombination dieser Folgenglieder, in der beide Vorgänger den Koeffizienten +1 tragen
Beide Startglieder gleich +1

Jedes dieser Kriterien erlaubt eine Verallgemeinerung:

Die Wahl anderer Startglieder $u$ und $v$ liefert eine Folge $(a_{n})$ , die mit der kanonischen Folge nach der Beziehung $a_{n}=u\cdot f_{n-2}+v\cdot f_{n-1}$ zusammenhängt. Ein Beispiel hierfür ist die Lucas-Folge $(L_{n})$ .

Für die Glieder einer solchen Folge gilt ein gegenüber der Formel von Moivre-Binet verallgemeinertes explizites Bildungsgesetz:

a_{n}\!\,={\frac {k\cdot \Phi ^{n}-l\cdot \Psi ^{n}}{\sqrt {5}}}

mit

k=u\cdot \Psi ^{2}-v\cdot \Psi

und

l=u\cdot \Phi ^{2}-v\cdot \Phi

.

Die kanonische Folge stellt sich hier als Spezialfall mit

u=v=1

dar, was wegen der charakteristischen Gleichung sofort

k=1

und

l=1

liefert.

Die Wahl anderer Koeffizienten für die Linearkombination liefert eine Folge, für die eine andere charakteristische Gleichung gilt. Eine Folge mit der Iterationsvorschrift

a_{n}=q\cdot a_{n-2}+p\cdot a_{n-1}

besitzt die charakteristische Gleichung

x^{2}-px-q=0

. Die Wurzeln dieser Gleichung bestimmen das explizite Bildungsgesetz. Wenn die charakteristische Gleichung die Wurzeln

\alpha

und

\beta

hat, dann lautet das Bildungsgesetz

a_{n}={\frac {k\cdot \alpha ^{n}-l\cdot \beta ^{n}}{\alpha -\beta }},

wobei

k

und

l

wieder durch die Startglieder bestimmt sind.

Eine Iteration, die mehr als zwei vorangehende Folgenglieder einbezieht, besitzt dementsprechend ein Polynom höheren Grades als charakteristische Gleichung, wobei die Wurzeln $x_{i}$ dieser Gleichung wieder im Bildungsgesetz auftauchen und die Koeffizienten $k_{i}$ durch die Anfangswerte bestimmt sind. Es gilt dann

a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}x_{i}^{n}}

.

Beispiele für derartige Folgen sind die Tribonacci- und die Tetranacci-Folge. Die Perrin-Folge und die Padovan-Folge folgen der Regel

a_{n}=a_{n-2}+a_{n-3}

.

Eine Iteration, die nur das unmittelbar vorhergehende Glied verwendet, liefert in diesem Zusammenhang als entartete Fibonacci-Folge eine reine Potenzfolge.

Fibonacci-Folgen in der Natur

Phyllotaxis

Die Blätter (Phyllotaxis) oder Fruchtstände vieler Pflanzen sind in Spiralen angeordnet, wobei die Anzahl dieser Spiralen den Fibonacci-Zahlen entsprechen. In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel. Das liegt daran, dass Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen. Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es bei 1/4 der Fall wäre (0° 90° 180° 270° | 0° 90° …). Dadurch wird der denkbar ungünstigste Fall vermieden, dass ein Blatt genau senkrecht über dem anderen steht und so die Blätter maximalen Schatten auf darunterliegenden Blättern erzeugen oder maximale „Lichtlücken“ entstehen.

Beispielsweise tragen die Körbe der Silberdistel (Carlina acaulis) hunderte gleichgestaltiger Blüten, die in kleineren Körben in einer 21-zu-55-Stellung, in größeren Körben in 34-zu-89- und 55-zu-144-Stellung in den Korbboden eingefügt sind. Auch die Schuppen von Fichtenzapfen wie von Ananasfrüchten bilden im und gegen den Uhrzeigersinn Spiralen, deren Schuppenanzahl durch zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen gegeben ist.

Wissenschaftshistorisch sei hier auf das Buch On Growth and Form von D’Arcy Wentworth Thompson (1917) verwiesen.

Stammbäume

Männchen der Honigbiene (Apis mellifera) werden als Drohnen bezeichnet. Interessanterweise beschreibt die Fibonacci-Folge die Anzahl der Ahnen einer Drohne. Das erklärt sich dadurch, dass eine Drohne (Generation n = 1) sich aus einem unbefruchteten Ei entwickelt, das ausschließlich Erbgut ihrer Mutter, der Bienenkönigin (Generation n = 2), enthält; eine Drohne hat keinen Vater. Eine Königin jedoch hat zwei Eltern, nämlich als Mutter eine andere Königin und als Vater eine Drohne (Generation n = 3) usw. Die Anzahl aller Ahnen einer Drohne in je einer so definierten n-ten Generation ist die n-te Fibonacci-Zahl $f_{n}$ .

Um das einzusehen, lässt sich die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin. In den Gleichungen der Modellierung ist dann $y_{n}$ die Anzahl der Drohnen, $x_{n}$ die Anzahl der Königinnen (jeweils in der n-ten Generation) und $f_{n>1}$ die Anzahl der Ahnen einer Drohne in der betrachteten Generation.

Fettsäuren

Unverzweigte aliphatische Monocarbonsäuren (hier: uaM), zu denen im Regelfall die Fettsäuren gehören, können verschieden viele Doppelbindungen an verschiedenen Positionen aufweisen. Die Anzahl der uaM gehorcht als Funktion der Kettenlänge der Fibonacci-Folge. Das folgt daraus, dass Doppelbindungen bei uaM nicht benachbart sind; die seltenen Ausnahmen sind hier vernachlässigt. Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäure, eine mit zwei C-Atomen: Essigsäure, zwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw. Bei 18 C-Atomen ergeben sich 2.584 Varianten (wovon Stearinsäure, Ölsäure, Linolsäure und Linolensäure vier Beispiele sind).

Auch hier lässt sich, um das einzusehen, die Zeichnung zur Anzahl der Kaninchen in Fibonaccis Modell im Abschnitt Antike und Mittelalter in Europa verwenden. Ein Kaninchenpaar der $n$ -ten Generation entspricht dem $n$ -ten Kohlenstoffatom einer uaM, wobei die Zählung bei der Carboxygruppe beginnt. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einem Kohlenstoffatom $c_{n}$ , auf das keine Doppelbindung folgen kann, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einem Kohlenstoffatom $C_{n}$ , auf das eine Doppelbindung folgen kann (oder nicht). Die Verbindungsstrecken von $c_{n}$ nach $C_{n+1}$ oder von $C_{n}$ nach $C_{n+1}$ entsprechen Einfachbindungen, die Verbindungsstrecken von $C_{n}$ nach $c_{n+1}$ Doppelbindungen. In den Gleichungen der Modellierung ist dann $y_{n}$ (bzw. $x_{n}$ ) die Anzahl der Kohlenstoffatome $c_{n}$ (bzw. $C_{n}$ ). – Jeder Pfad von $c_{1}$ zu einem Kohlenstoffatom der $n$ -ten Generation entspricht genau einer uaM mit $n$ Kohlenstoffatomen; die Zuordnung ist bijektiv. Also ist die Anzahl $f_{n}$ der in der $n$ -ten Generation betrachteten Kohlenstoffatome gleich der Anzahl der uaM mit $n$ Kohlenstoffatomen.

Geschichte

Altes Indien

Ihre früheste bekannte Erwähnung findet sich unter dem Namen mātrāmeru („Berg der Kadenz“) in der Chhandah-shāstra („Kunst der Prosodie“) des Sanskrit-Grammatikers Pingala (um 450 v. Chr. oder nach anderer Datierung um 200 v. Chr.). In ausführlicherer Form behandelten später auch Virahanka (6. Jh.) und besonders dann Acharya Hemachandra (1089–1172) diese Zahlenfolge, um die rechnerische Möglichkeit der Bildung von Metren durch regelmäßige Verteilung kurzer und langer Silben zu beschreiben.

Antike und Mittelalter in Europa

In der westlichen Welt war diese Folge ebenfalls schon in der Antike Nikomachos von Gerasa (um 100 n. Chr.) bekannt. Sie ist aber mit dem Namen des italienischen Mathematikers Fibonacci verbunden, der in seinem Liber abbaci („Buch der Rechenkunst“, Erstfassung von 1202 nicht erhalten, zweite Fassung von ca. 1227) diese Zahlenfolge mit dem Beispiel eines Kaninchenzüchters beschrieb, der herausfinden will, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres aus einem einzigen Paar entstehen, wenn jedes Paar ab dem zweiten Lebensmonat ein weiteres Paar pro Monat zur Welt bringt:

Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln:

Jedes Paar Kaninchen wirft pro Monat ein weiteres Paar Kaninchen.
Ein neugeborenes Paar bekommt erst im zweiten Lebensmonat Nachwuchs (die Austragungszeit reicht von einem Monat in den nächsten).
Die Tiere befinden sich in einem abgeschlossenen Raum („in quodam loco, qui erat undique pariete circumdatus“), sodass kein Tier die Population verlassen und keines von außen hinzukommen kann.

Fibonacci begann die Folge, nicht ganz konsequent, nicht mit einem neugeborenen, sondern mit einem trächtigen Paar, das seinen Nachwuchs bereits im ersten Monat wirft, sodass im ersten Monat bereits 2 Paare zu zählen sind. In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Fibonacci führte den Sachverhalt für die zwölf Monate eines Jahres vor (2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) und wies auf das Bildungsgesetz der Folge durch Summierung jeweils zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder (2+3 = 5, 3+5 = 8, 5+8 = 13 usw.) hin. Er merkte außerdem an, dass die Folge sich nach diesem Prinzip für eine unendliche Zahl von Monaten fortsetzen lässt, was dann allerdings unsterbliche Kaninchen voraussetzt: „et sic posses facere per ordinem de infinitis numeris mensibus.“ Weitere Beachtung hatte er dem Prinzip in seinen erhaltenen Werken nicht geschenkt.

Eine 2014 erschienene, mathematisch-historische Analyse zum Leben des Fibonacci, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt Bejaia (im heutigen Algerien), kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist (was schon länger vermutet wurde), sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist. Zu Leonardos Zeit war Bejaia ein wichtiger Exporteur von Bienenwachs, worauf noch heute der französische Name der Stadt (Bougie, wie das frz. Wort für Kerze) hinweist.

Nachdem spätere Mathematiker wie Gabriel Lamé (1795–1870) die Entdeckung dieser Zahlenfolge für sich beansprucht hatten, brachten Édouard Lucas (1842–1891) und andere wieder in Erinnerung, dass der zu dieser Zeit älteste bekannte Beleg von Fibonacci stammte, und unter dem Namen „Fibonacci-Folge“ („suite de Fibonacci“, „Fibonacci sequence“, „successione di Fibonacci“) ist sie seither in den meisten westlichen Sprachen geläufig.

Mathematische Modellierung des Wachstums von Fibonaccis Kaninchen-Population Sei $x_{n}$ die Anzahl der geschlechtsreifen bzw. $y_{n}$ die Anzahl der nicht geschlechtsreifen Kaninchen der $\textstyle n$ -ten Generation, entsprechend für die Generationen $\textstyle n-1$ und $\textstyle n-2$ . Nach den oben angegebenen Regeln ist mit diesen Bezeichnungen: $x_{n}=x_{n-1}+y_{n-1}$ (1) $x_{n-1}=x_{n-2}+y_{n-2}$ (1’) $y_{n}=x_{n-1}$ (2) Einsetzen von (1’) in (1) und anschließende Addition von (2) ergibt $x_{n}[+y_{n}]=(x_{n-2}+y_{n-2})+y_{n-1}[+x_{n-1}]$ , für die Gesamtzahl $f_{n}=x_{n}+y_{n}$ , $f_{n-2}=x_{n-2}+y_{n-2}$ , $f_{n-1}=x_{n-1}+y_{n-1}$ von Kaninchen der jeweiligen Generation also $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}$ , was dem angegebenen rekursiven Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge äquivalent ist. Mit $x_{1}=0,\,y_{1}=1$ beschreibt dieses Modell die in der Zeichnung angegebene Generationenfolge.

Neuzeit

Die Zahlentheoretiker Édouard Lucas und J. Wasteels (1865–1909) zeigten Jahrhunderte später, dass aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen der Gleichung

f_{n+1}^{2}-f_{n+1}f_{n}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}

genügen, und damit deren Bedeutung für die Zahlentheorie.

Bei der Fibonacci-Hyperbel

x^{2}-xy-y^{2}=1

sind

(x,y)=(f_{2n+1},f_{2n})

sowie bei der (nach geeigneter Transformation daraus erhaltenen) Gleichung

x^{2}+y^{2}+1=3xy

sind

(x,y)=(f_{2n-1},f_{2n+1})

die (einzigen) ganzzahligen Lösungen im 1. Quadranten.

Rezeption in Kunst und Unterhaltung

In Kunst und Unterhaltung wird die Fibonacci-Folge als etwas Besonderes, im Medium noch nicht Dagewesenes aufgegriffen. Ihre mathematische Bedeutung bleibt dabei im Hintergrund.

In der Unterhaltungsmathematik basieren das Schachbrett-Paradoxon und ähnliche geometrische Trugschlüsse auf den Eigenschaften der Fibonacci-Folge.
Die Künstlerin Hilma af Klint „war fasziniert von geometrischen Mustern. Mathematiker verwenden die Fibonacci-Sequenz, um Spiralformen zu beschreiben, die überall in der Schöpfung erscheinen. Die Nautilusschale ist ein Beispiel für diese logarithmischen Spiralen. Einige entfernte Galaxien sind in erstaunlichen Spiralen angeordnet. Wer kann die Auferstehung der toten Samen erklären – neues Leben im Frühling sprospuzieren? Wer kann die Entfaltung von Farnen ergründen?“
Das Systemgedicht alfabet (1981) der dänischen Schriftstellerin Inger Christensen basiert auf der Fibonacci-Folge.
Das Cover des Debütalbums der kanadischen Band The Organ, Grab That Gun, wurde von David Cuesta mithilfe eines auf der Fibonacci-Folge basierenden Rasters entworfen.
Mario Merz hat sich seit den 1970er Jahren immer wieder mit der Fibonacci-Folge auseinandergesetzt. Seit 1992 hängt im Zürcher Hauptbahnhof seine Lichtskulptur Das philosophische Ei aus roten Neonröhren mit Tieren und Fibonacci-Zahlen. 2001 schuf er in Unna ein Lichtkunst-Objekt, die Fibonacci-Reihe, auf dem Schornstein einer ehemaligen Fabrik. In Zusammenarbeit mit Petra Paffenholz kreierte unter anderem das Kunstwerk „Ziffern im Wald“ auf dem Mönchsberg in Salzburg.
Der Gesang im Lied Lateralus der Progressive-Metal-Band Tool basiert auf Fibonacci-Zahlen.
Die Künstlerin Martina Schettina beschäftigt sich in ihren mathematischen Bildern ebenfalls mit den Fibonacci-Zahlen.
Dan Brown verwendet in seinem Thriller The Da Vinci Code (2003) (deutsch: Sakrileg, 2004) die Fibonacci-Folge als geheime Botschaft.
Im Film π – System im Chaos von Darren Aronofsky, in dem der Protagonist nach dem „Muster der Welt“ in den Kursdaten von Aktien und in der Zahl π sucht, wird die Fibonacci-Folge erwähnt.
In der Serie Criminal Minds (Staffel 4, Folge 8) entführt ein Killer seine Opfer anhand der Fibonacci-Folge.
In Lars von Triers Film Nymphomaniac wird im Kapitel 5 – kleine Orgelschule – die Fibonacci-Folge mit einem Bach-Orgelsatz in Verbindung gebracht.
In dem Videospiel Watch Dogs von Ubisoft, in der Serienkiller-Mission als Zahlen, die an den einzelnen Tatorten der Opfer aufzufinden sind.
In dem Song What’s Goes? von Die Orsons rappt KAAS die Fibonacci-Folge bis zur Zahl 144.
Am Kernkraftwerk Leibstadt (CH) ist die Süd-Front des Maschinenhauses mit einer nach rechts progressiv ansteigenden Kurve aus sechs orangen Rechteckelementen bemalt, deren einzelne (aber auch addierte) Höhen der Fibonacci-Folge entsprechen.
In dem Videospiel Dishonored: Death of the Outsider wird die Fibonacci-Folge als Kombination für einen Banktresor verwendet.
In dem Manga Jojo’s Bizzare Adventure: Steel Ball Run wird die Fibonacci-Darstellung als Darstellung der Kraft des Protagonisten verwendet.
In dem Kinderbuch Britta Tausendfuß von Irmela Wendt lernt das Mädchen Britta nach und nach zählen. Zuerst kann sie nur bis 5 zählen. Zum achten Geburtstag ihres Bruders schenkt sie ihm 8 Pferdchen aus Rübenschnitzeln. Als ihr Vater für den Bauernhof einen Traktor mit 13 PS anschafft, zählt sie 13 Gründe auf, warum das Familienpferd trotzdem 13 Mal besser ist. Der Buchtitel kommt daher, dass Britta für Zahlen, die ihr Verständnis übersteigen, einfach tausend sagt.
Patric Sommerhoff hat die Fibonacci-Folge als Quadrat dargestellt und dabei den Goldenen Schnitt in Gestalt von Graustufen berücksichtigt
Hans Walser verknüpft die Fibonacci-Zahlen künstlerisch mit einem Pythagoras-Baum als spiralartige Figur in seinen Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen

Werke mit Fibonacci-Zahlen in Ziffern
Fibonacci-Zahlen
im Zürcher Hauptbahnhof
Fibonacci-Zahlen auf dem Mönchsberg
in Salzburg
Martina Schettina:
Fibonaccis Traum, 2008, 40 cm

Werke mit Verhältnissen in ihren Abmessungen mit Fibonacci-Zahlen
Petra Paffenholz:
Fibonacci Cubes, 2014,
1- bis 34-mal 2 dm Kantenlänge
Leuchtröhren im Café eines Kunstmuseums, 2019,
je eine Leuchte bei Fibonacci-Zahl auf gedachter linearer Skala

Fibonacci-Datenstrukturen

Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.

Anmerkungen

↑ Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.
↑ Bei der Berechnung dieses größten gemeinsamen Teilers mit dem euklidischen Algorithmus tritt der ungünstigste Fall ein in Bezug auf die Anzahl der benötigten Divisionen mit Rest. Siehe dazu z. B. Andreas Klappenecker: Euclid’s Algorithm. (PDF) In: people.engr.tamu.edu. Abgerufen am 14. Februar 2025 (Lemma 2, S. 4).
↑ Tatsächlich sind die Terme mit gleichem Laufindex $n$ in den Summen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich.
↑ Dazu muss festgestellt werden, dass dies ein theoretisches Gedankenmodell ist, das sich in der Praxis nicht so abbildet. Der Grund liegt in den individuellen Genen der Kaninchenmütter und der sich verändernden Geburtenrate. Es gibt Mütter, die über die Zeit zunehmend mehr Nachkommen haben, wenn sie mehr gebären konnten, während andere weniger Nachkommen haben, nachdem sie einen großen Wurf hatten. Zudem passen Kaninchen so wie auch Mäuse ihre Wurfgröße genetisch festgelegt an das Nahrungsangebot an, indem sie Gene an- und abschalten, welche die Fertilität steuern und Keimverzögerung sowie Befruchtungswillen beeinflussen.

Literatur

Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 978-1-118-03131-5.
Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, 1998, ISBN 978-0-471-31515-5, S. 91–101 (englisch, wiley.com).
John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
Huberta Lausch: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
Paulo Ribenboim: Meine Zahlen, meine Freunde. Glanzlichter der Zahlentheorie. Springer-Lehrbuch, 2009, ISBN 978-3-540-87955-8.
The Fibonacci Quarterly. Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.

Weblinks

Wikibooks: Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Fibonacci-Folge – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Fibonacci numbers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Fibonacci-Zahlen. (Memento vom 5. Januar 2010 im Internet Archive). – Sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen.
Fibonacci Numbers and the Golden Section. (englisch).
Fibonacci und der Goldene Schnitt. (PDF; 823 kB).
Albrecht Beutelspacher: Die Fibonacci-Zahlen. Aus der Fernsehsendung Mathematik zum Anfassen des Senders BR-alpha.
Video: Die Fibonacci-Folge. Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19898.

Einzelnachweise

↑ Folge A000045 in OEIS
↑ Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12. Jahrgang, Nr. 3, 1985, S. 229–244, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7 (englisch).
1 2 Der Goldene Schnitt – Das Mysterium der Schönheit (Dr. Dr. Ruben Stelzner). Abgerufen am 29. März 2023.
↑ Donald E. Knuth: Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane. Annual meeting. Hrsg.: The Mathematical Association of America. The Fairmont Hotel, San Jose, CA. 11. Dezember 2008 (Abstract. (Memento vom 3. November 2011 im Internet Archive)).
↑ Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB).
↑ Yvonne Stry, Rainer Schwenkert: Kapitel 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Abschnitt 6 Anwendungen. Eine sonderbare Ziffern-Verteilung und die Steuerrevision, Unterabschnitt 11.6.1, in: Mathematik kompakt für Ingenieure und Informatiker, Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-32312-9.
↑ Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Springer Science & Business Media, 2002, ISBN 978-3-7643-6135-8 (google.de [abgerufen am 29. März 2023]).
↑ H. C. Williams: A Note on the Fibonacci Quotient F_p−ε/p. In: Canadian Mathematical Bulletin. Band 25, Nr. 3, 1. September 1982, ISSN 0008-4395, S. 366–370, doi:10.4153/CMB-1982-053-0 (cambridge.org [abgerufen am 29. März 2023]).
↑ Laurin Pollak: Summation Formulas for Negative-Indexed Fibonacci and Lucas Numbers. 12. Dezember 2025, abgerufen am 12. Dezember 2025.
↑ Die Gleichung muss Landau (1899) bekannt gewesen sein, s. Borwein, Page 95, Exercise 3b.
Wegen $\textstyle f_{2n}=(\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})/{\sqrt {5}}=(\Psi ^{-2n}-\Psi ^{2n})/{\sqrt {5}}$ ergibt eine Multiplikation mit allen Nennern die Gleichung
$(1-\Psi ^{4n})(1-\Psi ^{2n})=(\Psi ^{-2n}-\Psi ^{2n})(\Psi ^{2n}(1-\Psi ^{4n})-\Psi ^{4n}(1-\Psi ^{2n})),$
die leicht verifiziert ist.
↑ Eric W. Weisstein: Zeckendorf Representation. In: MathWorld (englisch).
↑ In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: Wege zur Analysis: Genetisch – Geometrisch – Konstruktiv. Gabler, 2001, ISBN 3-540-42032-0, S. 12 (Auszug (Google))). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war, findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber. Gabler, 2010, ISBN 978-3-8274-2349-8, S. 46 (Auszug (Google))) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 611 (Auszug (Google))).
↑ Gleichung (2.12) in: Fibonacci numbers and matrices. 15. Juni 2009, Robert C. Johnson, Department of Mathematical Sciences, Durham University, UK.
1 2 3 Eric W. Weisstein: Reciprocal Fibonacci Constant. In: MathWorld (englisch).
↑ Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 95, Exercise 3b.
↑ Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 94, Exercise 3.
↑ Number-theoretical, combinatorial and integer functions – mpmath 1.1.0 documentation. Abgerufen am 18. Juli 2021.
↑ Als Dezimalbruch: Folge A079586 in OEIS
↑ Als Kettenbruch: Folge A079587 in OEIS
↑ Richard André-Jeannin: Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes (= Comptes rendus de l’Académie des sciences, Série I. Band 308, Nr. 19). 1989, S. 539–541 (französisch).
↑ Ribenboim S. 59–62.
↑ Borwein, Page 97, Equation (3.7.12).
↑ Ribenboim S. 323.
↑ Folge A000073 in OEIS, Folge A000078 in OEIS
1 2 Tony Noe, Tito Piezas III, Eric Weisstein: Fibonacci n-Step Number. In: MathWorld (englisch).
↑ Folge A001608 in OEIS, Folge A000931 in OEIS
↑ G. Hegi: Illustrierte Flora von Mitteleuropa. Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena, ISBN 3-936055-23-8.
↑ Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapur 1999, ISBN 981-02-3264-0, S. 130–134.
↑ S. Schuster, M. Fichtner, S. Sasso: Use of Fibonacci numbers in lipidomics – Enumerating various classes of fatty acids. In: Sci. Rep. 7 (2017) 39821.
↑ Parmanand Singh: Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. In: Mathematics Education. 20,1 (Siwan, 1986), ISSN 0047-6269, S. 28–30.
↑ Friedrich Gustav Lang: Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur. (Memento vom 16. November 2018 im Internet Archive). In: Novum Testamentum. Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86 auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.
↑ Baldassare Boncompagni (Hrsg.): Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche. Rom 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“).
↑ T. C. Scott, P. Marketos: On the Origin of the Fibonacci Sequence. Hrsg.: MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. 23. März 2014 (englisch, online bei mcs.st-andrews.ac.uk [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 25. September 2018]).
↑ Edouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10. (1877), S. 129–193, S. 239–293.
↑ Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. S. 210 ff.
↑ Behind the MINT #04: … weil wir mehr als Technik können. Podcast – Höre Zukunft!, Berliner Hochschule für Technik, abgerufen am 22. November 2024.
↑ agpvdoug: Hilma af Klint - The Abstract Artist Who Painted Invisible Realities. In: agpv.org. 12. November 2019, abgerufen am 20. Juli 2025 (amerikanisches Englisch).
↑ Die Fondazione Merz in Turin würdigt Mario Merz und sein Arte-Povera-Werk Finestre sull’arte,9. Juli 2024, abgerufen am 9. August 2024
↑ Fibonacci-Reihe, Unna RuhrKunstMuseen, abgerufen am 9. August 2024.
↑ Mario Merz: Ziffern im Wald, Sammlung Würth, Inv. 15607
↑ Graham Hartmann: No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs. Abgerufen am 29. März 2023 (englisch).
↑ Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“. Jg. 55, Heft 2, April 2009. Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer, TU Dresden, ISSN 0025-5807.
↑ Ingmar Lehmann: Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur. Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).
↑ Missing Persons. Abgerufen am 29. März 2023 (englisch).
↑ Die Orsons – What’s Goes? (Official Version). Abgerufen am 29. März 2023 (deutsch).
↑ Fibonacci Quadrat. Abgerufen am 18. Dezember 2023.
↑ Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren – Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 93–94.

[4] Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.

[8] Bei der Berechnung dieses größten gemeinsamen Teilers mit dem euklidischen Algorithmus tritt der ungünstigste Fall ein in Bezug auf die Anzahl der benötigten Divisionen mit Rest. Siehe dazu z. B. Andreas Klappenecker: Euclid’s Algorithm. (PDF) In: people.engr.tamu.edu. Abgerufen am 14. Februar 2025 (Lemma 2, S. 4).

[18] Tatsächlich sind die Terme mit gleichem Laufindex $n$ in den Summen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich.

[36] Dazu muss festgestellt werden, dass dies ein theoretisches Gedankenmodell ist, das sich in der Praxis nicht so abbildet. Der Grund liegt in den individuellen Genen der Kaninchenmütter und der sich verändernden Geburtenrate. Es gibt Mütter, die über die Zeit zunehmend mehr Nachkommen haben, wenn sie mehr gebären konnten, während andere weniger Nachkommen haben, nachdem sie einen großen Wurf hatten. Zudem passen Kaninchen so wie auch Mäuse ihre Wurfgröße genetisch festgelegt an das Nahrungsangebot an, indem sie Gene an- und abschalten, welche die Fertilität steuern und Keimverzögerung sowie Befruchtungswillen beeinflussen.

[OESI2C-1] Folge A000045 in OEIS

[2] Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12. Jahrgang, Nr. 3, 1985, S. 229–244, doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7 (englisch).

[GoSecEu-3] 1 2 Der Goldene Schnitt – Das Mysterium der Schönheit (Dr. Dr. Ruben Stelzner). Abgerufen am 29. März 2023.

[5] Donald E. Knuth: Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane. Annual meeting. Hrsg.: The Mathematical Association of America. The Fairmont Hotel, San Jose, CA. 11. Dezember 2008 (Abstract. (Memento vom 3. November 2011 im Internet Archive)).

[6] Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB).

[7] Yvonne Stry, Rainer Schwenkert: Kapitel 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Abschnitt 6 Anwendungen. Eine sonderbare Ziffern-Verteilung und die Steuerrevision, Unterabschnitt 11.6.1, in: Mathematik kompakt für Ingenieure und Informatiker, Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-540-32312-9.

[9] Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Springer Science & Business Media, 2002, ISBN 978-3-7643-6135-8 (google.de [abgerufen am 29. März 2023]).

[10] H. C. Williams: A Note on the Fibonacci Quotient F_p−ε/p. In: Canadian Mathematical Bulletin. Band 25, Nr. 3, 1. September 1982, ISSN 0008-4395, S. 366–370, doi:10.4153/CMB-1982-053-0 (cambridge.org [abgerufen am 29. März 2023]).

[11] Laurin Pollak: Summation Formulas for Negative-Indexed Fibonacci and Lucas Numbers. 12. Dezember 2025, abgerufen am 12. Dezember 2025.

[12] Die Gleichung muss Landau (1899) bekannt gewesen sein, s. Borwein, Page 95, Exercise 3b.
Wegen $\textstyle f_{2n}=(\Phi ^{2n}-\Psi ^{2n})/{\sqrt {5}}=(\Psi ^{-2n}-\Psi ^{2n})/{\sqrt {5}}$ ergibt eine Multiplikation mit allen Nennern die Gleichung
$(1-\Psi ^{4n})(1-\Psi ^{2n})=(\Psi ^{-2n}-\Psi ^{2n})(\Psi ^{2n}(1-\Psi ^{4n})-\Psi ^{4n}(1-\Psi ^{2n})),$
die leicht verifiziert ist.

[13] Eric W. Weisstein: Zeckendorf Representation. In: MathWorld (englisch).

[14] In manchen Büchern wird für de Moivres Entdeckung auch 1730 angegeben oder auch die Entdeckung nur Binet zugeschrieben. Für de Moivre, Bernoulli und Binet siehe dazu Beutelspacher (Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 90) und Schröder (u. a. in: Herbert Schröder: Wege zur Analysis: Genetisch – Geometrisch – Konstruktiv. Gabler, 2001, ISBN 3-540-42032-0, S. 12 (Auszug (Google))). Dass die Formel zudem auch Euler bekannt war, findet man z. B. bei Winkler (Peter Winkler: Mehr mathematische Rätsel für Liebhaber. Gabler, 2010, ISBN 978-3-8274-2349-8, S. 46 (Auszug (Google))) oder Ben-Menahem (Ari Ben-Menahem: Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences. Band 1. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-68831-0, S. 611 (Auszug (Google))).

[15] Gleichung (2.12) in: Fibonacci numbers and matrices. 15. Juni 2009, Robert C. Johnson, Department of Mathematical Sciences, Durham University, UK.

[MW2-16] 1 2 3 Eric W. Weisstein: Reciprocal Fibonacci Constant. In: MathWorld (englisch).

[17] Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 95, Exercise 3b.

[19] Landau (1899) zitiert nach Borwein, Page 94, Exercise 3.

[20] Number-theoretical, combinatorial and integer functions – mpmath 1.1.0 documentation. Abgerufen am 18. Juli 2021.

[21] Als Dezimalbruch: Folge A079586 in OEIS

[22] Als Kettenbruch: Folge A079587 in OEIS

[23] Richard André-Jeannin: Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes (= Comptes rendus de l’Académie des sciences, Série I. Band 308, Nr. 19). 1989, S. 539–541 (französisch).

[24] Ribenboim S. 59–62.

[25] Borwein, Page 97, Equation (3.7.12).

[26] Ribenboim S. 323.

[27] Folge A000073 in OEIS, Folge A000078 in OEIS

[MW-28] 1 2 Tony Noe, Tito Piezas III, Eric Weisstein: Fibonacci n-Step Number. In: MathWorld (englisch).

[29] Folge A001608 in OEIS, Folge A000931 in OEIS

[30] G. Hegi: Illustrierte Flora von Mitteleuropa. Band VI/4. 2. Auflage 1987. Weissdorn Verlag, Jena, ISBN 3-936055-23-8.

[31] Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific, Singapur 1999, ISBN 981-02-3264-0, S. 130–134.

[32] S. Schuster, M. Fichtner, S. Sasso: Use of Fibonacci numbers in lipidomics – Enumerating various classes of fatty acids. In: Sci. Rep. 7 (2017) 39821.

[33] Parmanand Singh: Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. In: Mathematics Education. 20,1 (Siwan, 1986), ISSN 0047-6269, S. 28–30.

[34] Friedrich Gustav Lang: Schreiben nach Mass. Zur Stichometrie in der antiken Literatur. (Memento vom 16. November 2018 im Internet Archive). In: Novum Testamentum. Vol. 41, Fasc. 1, 1999, S. 40–57. Lang verweist S. 55, Fußnote 86 auf Nikomachos von Gerasa, der diese Reihe neben anderen Zahlenreihen aufgelistet habe.

[35] Baldassare Boncompagni (Hrsg.): Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Bd. I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche. Rom 1857, S. 283–284 (Kap. XII, 7: „Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur“).

[37] T. C. Scott, P. Marketos: On the Origin of the Fibonacci Sequence. Hrsg.: MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews. 23. März 2014 (englisch, online bei mcs.st-andrews.ac.uk [PDF; 2,1 MB; abgerufen am 25. September 2018]).

[38] Edouard Lucas: Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d’arithmétique supérieure. In: Bulletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche 10. (1877), S. 129–193, S. 239–293.

[39] Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte. S. 210 ff.

[40] Behind the MINT #04: … weil wir mehr als Technik können. Podcast – Höre Zukunft!, Berliner Hochschule für Technik, abgerufen am 22. November 2024.

[41] vdoug: Hilma af Klint - The Abstract Artist Who Painted Invisible Realities. In: agpv.org. 12. November 2019, abgerufen am 20. Juli 2025 (amerikanisches Englisch).

[42] Die Fondazione Merz in Turin würdigt Mario Merz und sein Arte-Povera-Werk Finestre sull’arte,9. Juli 2024, abgerufen am 9. August 2024

[43] Fibonacci-Reihe, Unna RuhrKunstMuseen, abgerufen am 9. August 2024.

[44] Mario Merz: Ziffern im Wald, Sammlung Würth, Inv. 15607

[45] Graham Hartmann: No. 1: Tool, ‘Lateralus’ – Top 21st Century Metal Songs. Abgerufen am 29. März 2023 (englisch).

[46] Beitrag in MU – Der Mathematikunterricht „Mathematik und Kunst“. Jg. 55, Heft 2, April 2009. Friedrich Verlag, Herausgeber Stefan Deschauer, TU Dresden, ISSN 0025-5807.

[47] Ingmar Lehmann: Fibonacci-Zahlen in Bildender Kunst und Literatur. Abgerufen am 7. November 2009 (PDF; 131 kB).

[48] Missing Persons. Abgerufen am 29. März 2023 (englisch).

[49] Die Orsons – What’s Goes? (Official Version). Abgerufen am 29. März 2023 (deutsch).

[50] Fibonacci Quadrat. Abgerufen am 18. Dezember 2023.

[Walser-51] Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren – Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 93–94.

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

Fibonacci-Folge

Definition der Fibonacci-Folge

Eigenschaften

Näherung an den Goldenen Schnitt

Beziehungen zwischen den Folgengliedern

Zeckendorf-Theorem

Berechnung

Formel von Moivre-Binet

Näherungsformel für große Zahlen

Induktiver Beweis

Herleitung über ein Eigenwertproblem

Herleitung mittels Differenzengleichung

Herleitung mittels z-Transformation

Alternierende Näherung

Erzeugende Funktion

Verbindung zum reziproken Wert der Zahl 89

Darstellung mit Matrizen

Verwandtschaft mit dem Pascalschen Dreieck

Reihen von Reziproken

Verallgemeinerungen

Fibonacci-Folgen in der Natur

Phyllotaxis

Stammbäume

Fettsäuren

Geschichte

Altes Indien

Antike und Mittelalter in Europa

Neuzeit

Rezeption in Kunst und Unterhaltung

Fibonacci-Datenstrukturen

Verwandte der Fibonacci-Folge

Anmerkungen

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1