Fort-Raum

In der Mathematik ist der Fort-Raum ein spezieller topologischer Raum auf einer unendlichen Menge, der nach Marion Kirkland Fort Jr. benannt ist. Je nach Mächtigkeit der Menge unterscheidet man den abzählbaren und den überabzählbaren Fort-Raum.

Definition

Es sei ${\displaystyle X}$ eine unendliche Menge und ${\displaystyle p\in X}$ sei ein fest gewählter Punkt. Nennt man eine Menge offen, wenn sie ${\displaystyle p}$ nicht enthält oder ein endliches Komplement hat, so ist dadurch eine Topologie auf ${\displaystyle X}$ erklärt. Der dadurch definierte topologische Raum heißt Fort-Raum.

Manche Autoren sprechen nur bei überabzählbarem ${\displaystyle X}$ vom Fort-Raum.

Eigenschaften

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle X}$ den Fort-Raum mit dem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle p}$, das heißt ${\displaystyle X}$ ist eine unendliche Menge, auf der die oben beschriebene Topologie erklärt ist. Der Raum hat folgende Eigenschaften:

• Die Menge ${\displaystyle \{p\}}$ ist nicht offen, da ${\displaystyle X}$ unendlich ist, aber für jeden von ${\displaystyle p}$ verschiedenen Punkt ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \{x\}}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle x}$. Daher ist die Teilraumtopologie auf ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ diskret.
• ${\displaystyle X}$ ist ein Hausdorffraum. Seien ${\displaystyle x,y\in X}$ zwei verschiedene Punkte. Sind beide von ${\displaystyle p}$ verschieden, so werden sie durch die offenen Mengen ${\displaystyle \{x\}}$ und ${\displaystyle \{y\}}$ getrennt, ist einer der beiden gleich ${\displaystyle p}$, ohne Einschränkung ${\displaystyle x=p}$, so sind ${\displaystyle X\setminus \{y\}}$ und ${\displaystyle \{y\}}$ trennende offene Umgebungen.
• ${\displaystyle X}$ ist kompakt, denn jede offene Überdeckung enthält eine offene Menge, die ${\displaystyle p}$ überdeckt, und diese überdeckt schon alles bis auf endlich viele Punkte.
• Da ${\displaystyle X}$ kompakt ist, ist ${\displaystyle X}$ normal. Ist ${\displaystyle X}$ abzählbar, so ist ${\displaystyle X}$ sogar perfekt normal. Ist ${\displaystyle X}$ aber überabzählbar, so ist ${\displaystyle X}$ nicht perfekt normal.
• Der Fort-Raum ist vollständig normal.
• Der abzählbare Fort-Raum genügt dem ersten und dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom und ist separabel, insbesondere auch metrisierbar. Der überabzählbare Fort-Raum hingegen genügt keinem Abzählbarkeitsaxiom und ist auch nicht separabel, ist also insbesondere nicht metrisierbar.
• Der Fort-Raum ist nulldimensional und total separiert aber nicht extremal unzusammenhängend.

${\displaystyle X}$ ist die Alexandroff-Kompaktifizierung von ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$, also eines unendlichen diskreten Raums. Aus diesem Grunde vergeben manche Autoren keinen speziellen Namen für diesen Raum, sondern sprechen einfach von der Alexandroff-Kompaktifizierung eines diskreten Raums. Insbesondere ist der abzählbare Fort-Raum homöomorph zum Unterraum ${\displaystyle \textstyle \{0\}\cup \{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} ^{>0}\}}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit 0 als dem ausgezeichneten Punkt.

Siehe auch

• Arens-Fort-Raum

Einzelnachweise

1. 1 2 Lynn A. Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1978, ISBN 0-387-90312-7, S. 52,53, Example 23, 24 Countable/Uncountable Fort Space (englisch). 
2. ↑ S. Kohila, B. Komala Durga: Topology. Leilani Katie Publication and Press, 2024, ISBN 978-93-6348-206-7, S. 44 (englisch). 
3. ↑ K. Morita, J. Nagata: Topics in General Topology. North-Holland, 1989, ISBN 0-444-70455-8, S. 264, 3.15 Example (englisch).