Die Definition einer Topologie fordert nur, dass endliche Schnitte von offenen Teilmengen wieder offen und endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen sind. Ein abzählbarer Schnitt von offenen Teilmengen (also nicht unbedingt offen) wird Gδ-Menge und eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen (also nicht unbedingt abgeschlossen) wird Fσ-Menge genannt. Umgekehrt kann es sogar passieren, dass Gδ-Mengen abgeschlossen und Fσ-Mengen offen sind, etwa:
Ein topologischer Raum, in dem jede abgeschlossene Teilmenge eine Gδ-Menge oder äquivalent jede offene Teilmenge eine Fσ-Menge ist, wird Gδ-Raum genannt.
Wichtige Sätze
Satz von Mazurkiewicz: In einem metrischen Raum ist jede vollständig metrisierbare Teilmenge stets eine Gδ-Menge. Der Satz wurde im Jahr 1916 von Stefan Mazurkiewicz bewiesen.
Gδ-Satz von Hausdorff: In einem vollständigen metrischen Raum ist eine Gδ-Menge stets vollständig metrisierbar. Der Satz wurde im Jahr 1924 von Paul Alexandroff für den Spezialfall zusätzlich separabler (also polnischer) Räume und ebenso im Jahr 1924 von Felix Hausdorff auch für nichtseperable Räume bewiesen.
Stefan Mazurkiewicz:Über Borelsche Mengen. In: Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A: Sciences Mathématiques, 1916, ZDB-ID761846-3, S.490–494.
Felix Hausdorff:Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. In: Fundamenta Mathematicae. Band6, 1924, S.146–148.
A. V. Arkhangel′skiĭ und V.I. Ponomarev:Fundamentals of General Topology - Problems and Exercises. Hrsg.: Springer Dordrecht. 1984, ISBN 978-90-277-1355-1.