Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der ${\tfrac {2}{3}}$ -nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii. Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

Vorbereitung

Approximationseigenschaft

Ein Banach-Raum $B$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte $K\subset B$ und jedes $\varepsilon >0$ ein Operator $T$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle $x\in K$

\|x-Tx\|<\varepsilon .

⅔-nuklearer Operator

Sei $A$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum $B$ mit Approximationseigenschaft, dann ist $A$ ein ${\tfrac {2}{3}}$ -Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

A=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}\otimes f_{k}

besitzt, wobei $\varphi _{k}\in B$ und $f_{k}\in B'$ und

\sum \limits _{k=1}^{\infty }\|\varphi _{k}\|^{2/3}\|f_{k}\|^{2/3}<\infty .

Grothendiecks Spursatz

Seien $\lambda _{j}(A)$ die Eigenwerte von einem ${\tfrac {2}{3}}$ -nuklearen Operator $A$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|<\infty

und es gilt

\operatorname {tr} A=\sum \limits _{j}|\lambda _{j}(A)|

\operatorname {det} (I+A)=\prod \limits _{j}(1+\lambda _{j}(A)),

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

\operatorname {tr} A:=\lim \limits _{n\to \infty }\operatorname {tr} (K_{n})

\operatorname {det} (I+A):=\lim \limits _{n\to \infty }\det(I+K_{n})

mit $\|K_{n}-A\|\to 0.$

Einzelnachweise

↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.

[1] Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.