Grothendiecks Spursatz

Der Spursatz von Grothendieck ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis über die Spur und die Determinante einer bestimmten Klasse nuklearer Operatoren auf Banach-Räumen, der $\frac{2}{3}$ -nuklearen Operatoren. Er ist eine Erweiterung des Satzes von Lidskii. Der Satz wurde von Alexander Grothendieck bewiesen.

Grothendiecks Spursatz

Vorbereitung

Approximationseigenschaft

Ein Banach-Raum $B$ hat die Approximationseigenschaft, falls für jedes kompakte $K \subset B$ und jedes $ε > 0$ ein Operator $T$ endlichen Ranges existiert, sodass für alle $x \in K$

‖ x - T x ‖ < ε .

⅔-nuklearer Operator

Sei $A$ ein nuklearer Operator auf einem Banach-Raum $B$ mit Approximationseigenschaft, dann ist $A$ ein $\frac{2}{3}$ -Nuklearer Operator, falls er eine Zerlegung der Form

A = \sum_{k = 1}^{\infty} φ_{k} \otimes f_{k}

besitzt, wobei $φ_{k} \in B$ und $f_{k} \in B^{'}$ und

\sum_{k = 1}^{\infty} ‖ φ_{k} ‖^{2 / 3} ‖ f_{k} ‖^{2 / 3} < \infty .

Grothendiecks Spursatz

Seien $λ_{j} (A)$ die Eigenwerte von einem $\frac{2}{3}$ -nuklearen Operator $A$ mit ihren Vielfachheiten gezählt. Dann ist

\sum_{j} | λ_{j} (A) | < \infty

und es gilt

tr A = \sum_{j} | λ_{j} (A) |

\det (I + A) = \prod_{j} (1 + λ_{j} (A)),

wobei wir die Spur und die Fredholm-Determinante als Grenzwert definieren:

tr A := lim_{n \to \infty} tr (K_{n})

\det (I + A) := lim_{n \to \infty} det (I + K_{n})

mit $‖ K_{n} - A ‖ \to 0.$

Einzelnachweise

↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.

[1] Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators. In: Operator Theory Advances and Applications. Birkhäuser, Basel 1991, ISBN 978-3-7643-6177-8.