HJM-Modell

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Das Zinsstrukturmodell von Heath, Jarrow und Morton, kurz HJM-Modell, ist ein arbitragefreies Zinsstrukturmodell, das im Kern die gesamte Terminstruktur der kurzfristigen Terminzinsen modelliert und daraus die gesamte Zinsstruktur ableitet. Es wurde 1990 in zeitdiskreter Form und 1992 in zeitstetiger Form veröffentlicht. Ausgehend von diesem Modell entwickelte sich der Terminzinsratenansatz, weshalb auch vom HJM-Modellrahmen die Rede ist. Die Mehrheit der Zinsstrukturmodelle lassen sich im HJM-Modellrahmen interpretieren.

Als Einfaktormodell berücksichtigt es ausschließlich die Volatilität der Terminzinsänderungen als Risikofaktor. Das Modell lässt sich aber um eine beliebige Anzahl von Risikofaktoren erweitern. Durch das Hinzuziehen eines weiteren Risikofaktors kann nicht nur eine Verschiebung der Zinsstrukturkurve, sondern auch deren Drehung (Invertierung) beschrieben werden. Aus Komplexitätsgründen wird oft ein diskretes Einfaktor-HJM-Modell zur Bewertung von europäischen Swaptions verwendet. Somit ergibt sich ein binomiales Bewertungsmodell, da die Auf- und Abwärtsbewegungen nur von einem Risikofaktor abhängen.

Grundlagen

Entgegen der üblichen Notationskonvention in der Finanzmathematik, wonach deterministische Funktionen mit Klammern und stochastische Funktionen mit tiefgestellten Variablen dargestellt werden, werden die kurzfristigen Terminzinsen ${\displaystyle f}$, sowie die Drift- und Volatilitätsterme mit Klammern dargestellt, obwohl sie stochastischer Natur sind.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, wobei ${\displaystyle \mathbb {P} }$ das historische Maß (der wahren Welt) ist. Die kurzfristigen Terminzinsen ${\displaystyle f(t,T)}$ sind (annualisierte) Zinsraten, wozu Marktteilnehmer infinitesimal kurzfristige Kredite zu einer zukünftigen Fälligkeit ${\displaystyle T}$ aufnehmen können. Die Dynamik der kurzfristigen Zinsen sei durch ${\displaystyle \mathrm {d} f(t,T)=\alpha (t,T)\mathrm {d} t+\sigma (t,T)\mathrm {d} W_{t}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle W_{t}}$ einen ${\displaystyle d}$-dimensionalen Wienerprozess unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mathbb {P} }$ und ${\displaystyle \mathrm {d} W_{t}}$ sein Differential bezeichnet. Die Zinsstrukturkurve lässt sich dadurch ermitteln, da der Preis einer Nullkuponanleihe mit Maturität ${\displaystyle T}$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ durch

${\displaystyle P(t,T)=\exp {\left(-\int _{t}^{T}f(t,s)\,\mathrm {d} s\right)}}$

gegeben ist.

Das HJM-Modell betrachtet unendlich viele Zinsraten, die jedoch von endlich vielen, nämlich ${\displaystyle d}$ exogenen Rauschfaktoren beeinflusst werden. Damit das Modell arbitragefrei ist, muss ein Prozess ${\displaystyle \lambda =(\lambda ^{1},\ldots ,\lambda ^{d})}$ existieren, sodass für alle ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+}}$ und alle ${\displaystyle t\in [0,T]}$ der Driftterm durch $${\displaystyle \alpha (t,T)=\sigma (t,T)\int _{t}^{T}\sigma ^{\prime }(t,s)\operatorname {d} \!s+\sigma (t,T)\lambda _{t}^{\prime }}$$gegeben ist, wobei das Primzeichen für die Transpositionsabbildung steht, und sodass das stochastische Exponential ${\displaystyle {\mathcal {E}}\left(-\int _{0}^{\cdot }\lambda _{s}\operatorname {d} \!W_{s}\right)}$ ein Martingal ist. Sind diese Bedingungen erfüllt, ist das Modell arbitragefrei und ein risikoneutrales Maß ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist durch ${\displaystyle {\operatorname {d} \!\mathbb {Q} \over \operatorname {d} \!\mathbb {P} }{\Bigg \vert }_{{\mathcal {F}}_{T}}={\mathcal {E}}\left(-\int _{0}^{T}\lambda _{s}\operatorname {d} \!W_{s}\right)}$ gegeben. Unter diesem risikoneutralen Maß ändert sich die Dynamik der kurzfristigen Zinsen zu $${\displaystyle \mathrm {d} f(t,T)=\left(\sigma (t,T)\int _{t}^{T}\sigma ^{\prime }(t,s)\operatorname {d} \!s\right)\mathrm {d} t+\sigma (t,T)\mathrm {d} B_{t}}$$mit ${\displaystyle B}$ ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Wienerprozess, wodurch das Modell konsistent zur Beziehung zwischen Nullkuponanleihe und Momentanzins ${\displaystyle r_{t}=f(t,t)}$ bleibt.

Modellierung

Unter Annahme von Arbitragefreiheit lässt sich das HJM-Modell zur Martingalmodellierung verwenden. Die Modellierung besteht darin, die Volatilitätsterme ${\displaystyle \sigma (t,T)}$ zu ermitteln. Dadurch ist dank der HJM-Driftbedingung ${\textstyle \alpha (t,T){\Big \vert }_{\mathbb {Q} }=\sigma (t,T)\int _{t}^{T}\sigma ^{\prime }(t,s)\operatorname {d} \!s}$ der Driftterm ebenfalls bestimmt. Je nachdem, ob ein Rückvergleich oder eine Vorhersage durchgeführt wird, spricht man von historischer oder impliziter Kalibrierung der Volatilität. Anhand der am Terminmarkt indirekt beobachteten kurzfristigen Terminzinsen ${\displaystyle f(0,T)}$ (mithilfe von Bootstrapping auf Grundlage der Marktpreise von Zinsswaps wie z. B. Overnight Index Swaps), wodurch sich die nicht beobachteten kurzfristigen Terminzinsen ${\displaystyle f(\cdot ,T)}$ zu späteren Zeitpunkten bestimmen lassen. Damit lassen sich die Preise der Nullkuponanleihen berechnen.

Beispiele

Einige Momentanzinsmodelle lassen sich auch im HJM-Modellrahmen beschreiben. Tatsächlich ist der Momentanzins ${\displaystyle r}$ in diesem Rahmen durch die Dynamik ${\displaystyle \operatorname {d} \!r_{t}=\left(\partial _{T}f(t,t)+\alpha (t,t)\right)\operatorname {d} \!t+\sigma (t,t)\operatorname {d} \!W_{t}}$ gegeben. Daraus lassen sich unter anderem das Ho-Lee-Modell (mit ${\displaystyle \sigma (t,T)\equiv \sigma }$ konstant) oder das Vasicek-Modell (mit ${\displaystyle \sigma (t,T)=\gamma \exp(-\theta (T-t))}$ für zwei Parameter ${\displaystyle \gamma ,\theta }$) herleiten, welche dadurch direkt an die initiale Zinsstruktur kalibriert sind.

Vergleich mit dem Black-76-Modell

Der große Vorteil des klassischen Black-76-Modells besteht in seiner Einfachheit bei der Berechnung und Implementierung. Der größte Kritikpunkt dieses Modells ist die Annahme, dass Zinsänderungen lognormalverteilt sind. Diese Annahme ist aufgrund der beobachteten Mittelwertrückkehr der Zinssätze sehr realitätsfern. Außerdem ist die Summe von lognormalverteilten Zufallsvariablen nicht zwangsläufig lognormalverteilt, was im Black-76-Modell unterstellt wird. Des Weiteren werden die Volatilitäten der Terminzinssätze als konstant angenommen.

Infolgedessen führt die Anwendung dieses Modells mit einer großen Wahrscheinlichkeit zu erheblichen Fehlbewertungen. Das HJM-Modell hat diese Schwächen nicht. Es geht nicht von der Lognormalverteilung aus und berücksichtigt die Mittelwertrückkehr der Zinssätze. Außerdem beachtet dieses Modell, dass die einzelnen Zinssätze voneinander abhängig sind. Das HJM-Modell beachtet diese Dynamik der Zinssätze, so dass die Veränderung eines Zinssatzes auch eine Veränderung der gesamten Zinsstruktur bewirkt.

Jedoch hat das HJM-Modell auch einige Nachteile. Zum einen muss eine anfängliche Zinsstruktur der Terminzinsen f (0,t,t+1) gegeben sein. In der Praxis sind aber diese nicht direkt zu beobachten. Daher besteht das Problem der Datenverfügbarkeit. Zum anderen ist das Modell nur schwer implementierbar, da es sehr komplexe Strukturen aufweist. So entstehen bei der Modellierung der Zinsprozesse nicht-geschlossene Binomialbäume, die zu einer großen Anzahl von Knoten führen: Im HJM-Modell müssen im Zeitpunkt t insgesamt 2*t Knoten erfasst werden. Beispielsweise führt die Bewertung einer Swaption mit einer Gesamtlaufzeit von 21 Jahren bei der Modellierung des Terminzins-Prozesses f (20,20,21) zu 2^21 = 2.097.152 Knoten, was schon beachtlichen Rechenaufwand erzeugt.

Anwendung

Der HJM-Modellrahmen dient als Grundlage für das Modell von Kaushik I. Amin und Robert A. Jarrow oder Rüdiger Frey und Daniel Sommer eines internationalen Finanzmarktes.

Anmerkung

Das Modell lässt sich auch anstatt der Fälligkeit ${\displaystyle T}$ durch die Laufzeit ${\displaystyle T-t}$ ausdrücken. Die entsprechende Substitution wird auch Musiela-Parametrisierung genannt. Damit lässt sich die Diskontstruktur modellieren.

Literatur

• Markus Rudolf: Zinsstrukturmodelle. Physica-Verlag, Heidelberg 2000. 
• Markus Rudolf: Heath, Jarrow, Morton made easy: Zur präferenzfreien Bewertung von Swaptions. In: Finanzmarkt und Portfolio-Management. Band 12, Nr. 2, 1998, S. 170–196. 
• D. Heath, R. Jarrow, A. Morton: Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claims valuation. 1992 (englisch). 
• Klaus Sandmann: Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer, 1999. 

Einzelnachweise

1. ↑ Kaushik I. Amin, Robert A. Jarrow: Pricing foreign currency options under stochastic interest rates. In: Journal of International Money and Finance. Band 10, Nr. 3, September 1991, S. 310–329, doi:10.1016/0261-5606(91)90013-A (elsevier.com [abgerufen am 26. September 2026]). 
2. ↑ Rüdiger Frey, Daniel Sommer: A systematic approach to pricing and hedging international derivatives with interest rate risk: analysis of international derivatives under stochastic interest rates. In: Applied Mathematical Finance. Band 3, Nr. 4, Dezember 1996, ISSN 1350-486X, S. 295–317, doi:10.1080/13504869600000014 (tandfonline.com [abgerufen am 26. September 2026]). 
3. ↑ Klaus Sandmann: Modell eines internationalen Finanzmarktes. In: Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1999, ISBN 978-3-540-64744-7, S. 387–408, doi:10.1007/978-3-662-06882-3_11 (springer.com [abgerufen am 26. September 2026]). 
4. ↑ Hans Rau-Bredow: Anmerkungen zu dem Beitrag von Markus Rudolf: Heath, Jarrow, Morton Made Easy: Zur präferenzfreien Bewertung von Swaptions (Finanzmarkt und Portfolio Management, 1998, S. 170–196), unveröffentlichtes Arbeitspapier, Würzburg 1999. (PDF; 0.1 MB)