Momentanzinsmodell

Ein Momentanzinsmodell (englisch short rate model) ist ein Zinsstrukturmodell, das die Dynamik des Momentanzinses (englisch short rate) beschreibt.

Ziel ist es, durch die Beschreibung des Momentanzinses ${\displaystyle r}$ die Werte von Nullkuponanleihen ${\displaystyle P(t,T)}$ für beliebige Zeitpunkte ${\displaystyle t<T}$ zu erhalten. Die Entwicklung von ${\displaystyle r_{t}}$ wird dabei durch eine oder mehrere stochastische Differentialgleichungen gegeben, wobei man verschiedene Modelle unterscheidet. Die Modelle unterscheiden sich voneinander sowohl durch die Komplexität der Formeln, die bei manchem Modellen eine analytische Formel für Anleihepreise unmöglich macht, als auch durch qualitatives Verhalten des Zinssatzes selbst.

Grundlagen

Gemäß üblicher Notationskonvention in der Finanzmathematik werden deterministische Funktionen mit Klammern und stochastische Funktionen mit tiefgestellten Variablen dargestellt.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {Q} )}$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum, wobei ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ein risikoneutrales Maß ist. Der Momentanzins ${\displaystyle r_{t}}$ ist der (annualisierte) Zinssatz, zu dem ein Marktteilnehmer Geld für einen infinitesimalen Zeitraum ${\displaystyle [t,t+\mathrm {d} t]}$ ausborgen kann. Die Dynamik des Momentanzinses sei durch ${\displaystyle \mathrm {d} r_{t}=\mu (t,r_{t})\mathrm {d} t+\sigma (t,r_{t})\mathrm {d} W_{t}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle W_{t}}$ einen Wiener-Prozess unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle \mathrm {d} W_{t}}$ sein Differential bezeichnet. Aus dem jetzigen Momentanzins folgt noch nicht der Verlauf der gesamten Zinsstrukturkurve. Allerdings kann mit Hilfe der vorausgesetzten Arbitragefreiheit gezeigt werden, dass der Preis einer Nullkuponanleihe mit Fälligkeit ${\displaystyle T}$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ durch

${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} \left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,\mathrm {d} s\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right]}$

gegeben ist. Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ die natürliche Filtration des Prozesses. Das heißt, dass ein Modell für die zukünftige Entwicklung des Momentanzinses die Preise von allen Anleihen bestimmt.

In der vorigen Gleichung lässt sich rechterhand als Funktion ${\displaystyle F(t,r_{t})}$ in ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle r_{t}}$ auffassen. Mithilfe der Feynman-Kac-Formel folgt die Zinsstrukturgleichung $${\displaystyle \partial _{t}F+\mu \partial _{r}F+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\partial _{rr}F=rF}$$für ${\displaystyle t<T}$ und Endbedingung ${\displaystyle F(T,r)=1}$.

Eigenschaften

Ein Momentanzinsmodell besitzt eine affine Zinsstruktur, wenn die Preise der Nullkuponanleihen von der Form ${\displaystyle P(t,T)=\mathrm {e} ^{A(t,T)-B(t,T)r_{t}}}$ ist, mit ${\displaystyle A,B}$ deterministische bivariate Funktionen. Es lässt sich zeigen, dass diese Funktionen durch inhomogene Riccati-Gleichungen erfüllt werden, sofern der Drift ${\displaystyle \mu }$ und die Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ affine Funktionen des Momentanzinses ${\displaystyle r}$ sind.

Beispiele

Kalibrierung

Zur Kalibrierung der Drift- und Volatilitätsparameter werden üblicherweise zwei Methoden herangezogen. Zunächst gibt es die Möglichkeit mittels historischer Zeitreihen diese zu ermitteln. Dabei muss beachtet werden, dass die historischen Daten unter dem historischen Maß ${\displaystyle \mathbb {P} }$ gemessen werden und dementsprechend für die Dynamik des Momentanzinses unter dem risikoneutralen Maß ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ angepasst werden müssen.

Die zweite Methode besteht darin, die Kalibrierung anhand der aktuellen Marktpreise durchzuführen. Dafür muss ein bestimmtes Modell festgelegt werden. Man setze ${\displaystyle \psi }$ für den Parametervektor des gewählten Modells. Für alle Fälligkeiten ${\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+}}$ wird die Lösung ${\displaystyle F}$ der Zinsstrukturgleichung ermittelt. Für eine bestimmte Anzahl an Fälligkeiten werden die Marktpreise ${\displaystyle \left({\hat {P}}(0,T_{1}),\ldots ,{\hat {P}}(0,T_{M})\right)}$ der Nullkuponanleihen zum aktuellen Startzeitpunkt sowie der aktuelle Momentanzins ${\displaystyle {\hat {r}}_{0}}$ (mittels Referenzzinssätzen wie €STR oder SOFR) gesammelt. Der optimale Parametervektor ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ lässt sich dann durch das Minimierungsproblem $${\displaystyle \min _{\psi }\sum _{m=1}^{M}w_{m}\left({\hat {P}}(0,T_{m})-F(0,T_{m};{\hat {r}}_{0},\psi )\right)^{2}}$$mit ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{M}}$ skalarwertige Gewichte bestimmen.

Die zweite Methode der Marktkalibrierung ermöglicht es, das Modell halbwegs marktkonsistent zu kalibrieren, wobei stärkere Abweichung trotz optimalem Parametervektor möglich sind. Diese Diskrepanz lässt sich unter anderem auf den möglichen Mangel an genügend Marktpreisen erklären. Beachte, dass der Parametervektor entgegen der meisten Modellvorgaben als konstant angenommen wird.

Vergleich zu anderen Zinsmodelle

Momentanzinsmodelle sind per constructionem arbitragefrei, wenn auch nicht notwendigerweise vollständig. Durch die Endwertbedingung ${\displaystyle P(T,T)=1}$ sind die Anleihepreise konsistent. Jedoch sind für vorige Zeitpunkte ${\displaystyle t<T}$ die Anleihepreise nicht konsistent mit den im Markt beobachteten Preisen. Sie müssen dementsprechend kalibriert werden, was in der Praxis einen hohen Rechenaufwand erfordert.

Eine zweite Familie von Zinsmodellen ist der Heath-Jarrow-Morton-Modellrahmen. Dabei wird nicht der aktuelle Momentanzins, sondern die gesamte Entwicklung des Momentanzinses, also die Gesamtheit der kurzfristigen Terminzinsen modelliert. Für manche Kassazinsmodelle wie das CIR-Modell oder das Hull-White-Modell gibt es eine äquivalente Beschreibung im HJM-Modellrahmen; andere Modelle haben keine duale HJM-Repräsentation.

Literatur

• Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit. Springer Verlag, (2nd ed. 2006), ISBN 978-3-540-22149-4.

Einzelnachweise

1. Markus Rudolf: Zinsstrukturmodelle (= Studies in Contemporary Economics Ser). Physica-Verlag, Heidelberg 2000, ISBN 978-3-7908-1269-5. 
   1. ↑ S. 37, Gleichung 1.33
2. Stefan Reitz, Willi Schwarz, Marcus R. W. Martin: Zinsderivate. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 978-3-528-03203-6. 
   1. ↑ S. 89
   2. ↑ Abschnitt 2.4 "Die Hull-White-Modellgruppe"
3. ↑ Oldřich Vašíček (1977). „An Equilibrium Characterisation of the Term Structure“. Journal of Financial Economics 5 (2): 177–188. doi:10.1016/0304-405X(77)90016-2.
4. ↑ Cox, J.C., J.E. Ingersoll and S.A. Ross (1985). „A Theory of the Term Structure of Interest Rates“. Econometrica 53: 385–407. doi:10.2307/1911242.
5. ↑ John C. Hull and Alan White (1990). „Pricing interest-rate derivative securities“. The Review of Financial Studies 3 (4): 573–592.
6. ↑ Fischer Black, Emanuel Derman, William Toy: A One-Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options. In: Financial Analysts Journal. Band 46, Nr. 1, Januar 1990, ISSN 0015-198X, S. 33–39, doi:10.2469/faj.v46.n1.33 (Autorenkopie [PDF; abgerufen am 24. September 2026]).