Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Theodore E. Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei $(S,\Sigma )$ ein messbarer Raum. Sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum $(S,\Sigma )$ mit Übergangskern $P$ . Dann heißt $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ Harris-Kette, falls es Mengen $A,B\in \Sigma$ , ein $\varepsilon >0$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\rho$ auf $(S,\Sigma )$ mit $\rho (B)=1$ existieren, so dass gilt:

Für alle $x_{0}\in S$ gilt ${\text{P}}(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x_{0})>0$ und
für alle $x\in A$ und alle messbaren $C\subseteq B$ gilt $P(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)\,.$

Dabei bezeichnet $\tau _{A}=\inf\{n\in \mathbb {N} _{0}:X_{n}\in A\}$ den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge $A$ .

Bemerkungen

Die Menge $A$ wird auch Regenerationsmenge genannt. Gilt die erste Bedingung nicht nur mit positiver Wahrscheinlichkeit, sondern sogar mit Sicherheit, also ${\text{P}}(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x_{0})=1$ , dann ist die Menge $A$ überdies rekurrent.
Es ist möglich eine Harris-Kette gemeinsam mit einem Erneuerungsprozess zu konstruieren, sodass Ersterer regenerativ zu Letzterem ist. Die Zyklen dieses regenerativen Prozesses sind dann 1-abhängig.

Eigenschaften

Es werde mit ${\textstyle \mathbb {P} _{\rho }}$ die Verteilung der unverzögerten Harris-Kette ${\textstyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ bezeichnet, wofür der Startwert $X_{0}\sim \rho$ . Dadurch ist ${\textstyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ein unverzögerter regenerativer Prozess dessen erste Zykluslänge durch ${\textstyle \zeta \in \mathbb {N} }$ gegeben sei.

Eine Harris-Kette heißt aperiodisch, wenn die ${\textstyle \mathbb {P} _{\rho }}$ -Verteilung von $\zeta$ aperiodisch ist.

Eine Harris-Kette heißt positiv rekurrent, wenn $\mathbb {E} _{\rho }[\zeta ]<\infty$ und sonst null-rekurrent.

Eine aperiodische, positiv rekurrente Harris-Kette wird auch Harris-ergodisch genannt.

Invariantes Maß

Es lässt sich stets ein (bis auf eine multiplikative Konstante eindeutiges) invariantes Maß $\nu$ zu einer Harris-Kette ${\textstyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ bilden, welches durch ${\textstyle \nu (f)=\mathbb {E} _{\rho }\left[\sum _{n=0}^{\zeta -1}f(X_{n})\right]}$ für alle messbaren, nicht-negativen und beschränkten Funktionen $f:S\to \mathbb {R}$ . Für $A\in \Sigma$ entspricht $\nu (A)\equiv \nu (\mathbb {I} _{A})$ (wobei $\mathbb {I}$ die Indikatorfunktion) der erwarteten Anzahl an Besuchen in $A$ während eines Zyklus. Eine Menge $A\in \Sigma$ ist genau dann rekurrent, wenn $\nu (A)>0$ . Die Norm ist $\Vert \nu \Vert =\mathbb {E} _{\rho }[\zeta ]$ .

Ist die Harris-Kette positiv rekurrent, dann gilt ${\textstyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N}f(X_{n})=\pi (f)}$ für alle messbaren beschränkten Funktionen $f:S\to \mathbb {R}$ , wobei ${\textstyle \pi ={\frac {\nu }{\Vert \nu \Vert }}}$ ist.

Ergodizität

Für eine Harris-ergodische Kette ${\textstyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit invariantem Maß $\nu$ gilt ${\textstyle \lim _{x\to \infty }\mathbb {P} _{x}(X_{n}\in A)=\pi (A)}$ für alle $x\in S$ und $A\in \Sigma$ , wobei ${\textstyle \pi ={\frac {\nu }{\Vert \nu \Vert }}}$ ist.