Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Theodore E. Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ein messbarer Raum. Sei ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ mit Übergangskern ${\displaystyle P}$. Dann heißt ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ Harris-Kette, falls es Mengen ${\displaystyle A,B\in \Sigma }$, ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \rho }$ auf ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ mit ${\displaystyle \rho (B)=1}$ existieren, so dass gilt:

1. Für alle ${\displaystyle x_{0}\in S}$ gilt ${\displaystyle {\text{P}}(\tau _{A}<\infty \mid X_{0}=x_{0})>0}$ und
2. für alle ${\displaystyle x\in A}$ und alle messbaren ${\displaystyle C\subseteq B}$ gilt ${\displaystyle P(x,C)\geq \varepsilon \rho (C)\,.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \tau _{A}=\inf\{n\in \mathbb {N} _{0}:X_{n}\in A\}}$ den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge ${\displaystyle A}$.

Bemerkungen

• Die Menge ${\displaystyle A}$ wird auch Regenerationsmenge genannt.
• Es ist möglich eine Harris-Kette gemeinsam mit einem Erneuerungsprozess zu konstruieren, sodass Ersterer regenerativ zu Letzterem ist. Die Zyklen dieses regenerativen Prozesses sind dann 1-abhängig.

Einzelnachweise

1. ↑ Rick Durret: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, Abschnitt 6.8, S. 318ff (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).