Regenerativer Prozess

Ein regenerativer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, der unter anderem in der Warteschlangentheorie und Erneuerungstheorie vorkommt.

Definition

Sei ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in I}}$, mit ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ oder ${\displaystyle I={\mathopen {[}}0,\infty {\mathclose {[}}}$, ein stochastischer Prozess mit Werten in einem Zustandsraum ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$. Ein Prozess ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in I}}$ wird regenerativ (im weiten Sinne) genannt, wenn ein Erneuerungsprozess ${\displaystyle \{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=\{Y_{0}+\ldots +Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ existiert, sodass für alle ${\displaystyle n\geq 0}$ der Post-${\textstyle S_{n}}$-Prozess ${\displaystyle \left(Y_{n+1},Y_{n+2},\ldots ,\{X_{S_{n}+t}\}_{t\in I}\right)}$ sowohl unabhängig von ${\displaystyle S_{0},\ldots ,S_{n}}$ (bzw. ${\displaystyle Y_{0},\ldots ,Y_{n}}$) ist, als auch seine Verteilung nicht von ${\displaystyle n}$ abhängt. Die Folge ${\displaystyle \{S_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ wird eingebetteter Erneuerungsprozess genannt und die ${\displaystyle S_{n}}$ Regenerationszeiten.

Diese Definition erlaubt eine gewisse Abhängigkeit zwischen den Zyklen, im Gegensatz zu der klassischen Definition, welche fordert, dass der Post-${\textstyle S_{n}}$-Prozess unabhängig von ${\displaystyle S_{0},\ldots ,S_{n}}$und ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t<S_{n}}}$ist.

Eigenschaften

• Ist der Erneuerungsprozess (un-)verzögert, dann ist der regenerative Prozess ebenso (un-)verzögert.

Beispiele

Klassische Beispiele von regenerativen Prozessen sind:

• positiv rekurrente, irreduzible Markow-Kette (in stetiger wie diskreter Zeit)
• G/G/1-Warteschlangen
• Altersprozess und Restlebensdauerprozess eines Erneuerungsprozesses

Grenzverhalten

Regenerative Prozesse besitzen eine Grenzverteilung unter vergleichsweise milden Bedingungen, die in vielen Anwendungen automatisch erfüllt sind.

Einzelnachweise

1. ↑ Gerold Alsmeyer: Erneuerungstheorie : Analyse stochastischer Regenerationsschemata. B.G. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 978-3-663-09977-2. 
2. ↑ Søren Asmussen: Applied probability and queues. 2nd ed Auflage. Springer, New York 2003, ISBN 0-387-00211-1.