Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Allgemeines

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle $x = 0$ überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

\begin{matrix} Θ : & ℝ \to {0, 1} \\ x \mapsto {\begin{matrix} 0 : & x < 0 \\ 1 : & x \geq 0 \end{matrix} \end{matrix}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls $[0, + \infty)$ der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt $Θ (x)$ auch davon abweichende Notationen geläufig:

$H (x)$ , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
$s (x)$ und $σ (x)$ nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
$u (x)$ nach der Bezeichnung englisch unit step function.
Auch $ϵ (x)$ wird häufig verwendet.
In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol $1 (x)$ .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von $x = 0$ den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Alternative Darstellungen

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle $x = 0$ kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

\begin{matrix} Θ_{c} : & ℝ \to 𝕂 \\ x \mapsto {\begin{matrix} 0 : & x < 0 \\ c : & x = 0 \\ 1 : & x > 0 \end{matrix} \end{matrix}

mit $0, 1, c \in 𝕂$ . Es kann $𝕂$ also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch $𝕂 = [0, 1] \subset ℝ$ verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann $Θ_{c} (0) = c$ ist.

Durch die Wahl $c := \frac{1}{2}$ und folglich $Θ_{\frac{1}{2}} (0) = \frac{1}{2}$ erreicht man, dass die Gleichungen

Θ_{\frac{1}{2}} (x) = \frac{1}{2} (sgn (x) + 1)

und damit auch

Θ_{\frac{1}{2}} (- x) = 1 - Θ_{\frac{1}{2}} (x)

für alle reellen $x$ gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

Θ (x) = - lim_{ε \to 0} \frac{1}{2 π i} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{τ + i ε} e^{- i x τ} d τ

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

Θ (x) = lim_{ε \to 0} \frac{1}{π} [\arctan (\frac{x}{ε}) + \frac{π}{2}]

Eigenschaften

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

\frac{d}{d x} Θ (x) = δ (x)

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man $Θ (x)$ und $δ (x)$ geeignet approximiert, z. B. durch

Θ_{ε} (x) := {\begin{matrix} 0 & x < (- ε) \\ (\frac{1}{2} + \frac{x}{2 ε}) & | x | \leq ε \\ 1 & x > ε, \end{matrix}

sowie

δ_{ε} (x) := {\begin{matrix} 0 & | x | > ε \\ \frac{1}{2 ε} & | x | \leq ε, \end{matrix}

wobei jeweils der Grenzwert ${lim}_{ε ↘ 0}$ betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen $x < 0$ und $x \geq 0$ aus der Fallunterscheidung in der Definition:

Für $x > 0$ gilt
$\int_{- \infty}^{x} Θ (t) d t = \int_{- \infty}^{0} 0 d t + \int_{0}^{x} 1 d t = \int_{0}^{x} 1 d t = [t]_{0}^{x} = x$ .
Für $x \leq 0$ tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
$\int_{- \infty}^{x} Θ (t) d t = \int_{- \infty}^{x} 0 d t = 0$ .

Zusammengenommen gilt also

\int_{- \infty}^{x} Θ (t) d t = {\begin{matrix} 0 & , & falls x \leq 0 \\ x & , & falls x > 0 \end{matrix}

beziehungsweise

\int_{- \infty}^{x} Θ (t) d t = max {0, x} = x \cdot Θ (x)

.

Die Menge aller Stammfunktionen der Heaviside-Funktion ist damit

\int Θ (x) d x = max {0, x} + C = x \cdot Θ (x) + C

.

Siehe auch

Weblinks

Eric W. Weisstein: Heaviside Step Function. In: MathWorld (englisch).