Hilbert-Metrik

In der Geometrie sind Hilbert-Metriken gewisse Metriken auf beschränkten konvexen Teilmengen des euklidischen Raumes, die das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie verallgemeinern.

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine beschränkte, offene, konvexe Menge. Zu je zwei Punkten ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ gibt es dann eine eindeutige Gerade durch ${\displaystyle x,y}$ und zwei eindeutige Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$. Die beiden Schnittpunkte seien mit ${\displaystyle a,b}$ bezeichnet, wobei ${\displaystyle a}$ näher an ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle b}$ näher an ${\displaystyle y}$ liege. Der Hilbert-Abstand ${\displaystyle d_{H}}$ ist dann auf ${\displaystyle \Omega }$ definiert durch die Formel

${\displaystyle d_{Hilb}(x,y):=\log {\frac {\parallel y-a\parallel .\parallel x-b\parallel }{\parallel x-a\parallel .\parallel y-b\parallel }}}$

für ${\displaystyle x\not =y}$ und ${\displaystyle d_{Hilb}(x,x)=0}$.

Die Hilbert-Metrik stammt nicht immer von einer Riemannschen Metrik, aber immer von einer Finsler-Metrik definiert durch

${\displaystyle F(v_{x}):={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{Hilb}(x,x+tv_{x})}$

für ${\displaystyle x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},v_{x}\in T_{x}\Omega \cong \mathbb {R} ^{n}}$.

Eigenschaften

Im Folgenden seien ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ zwei kompakte, konvexe Mengen und ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ die den beiden Mengen zugeordneten Hilbert-Metriken.

• Aus ${\displaystyle \Omega _{1}\subset \Omega _{2}}$ folgt ${\displaystyle d_{1}(x,y)\geq d_{2}(x,y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}$.
• Wenn es eine lineare Abbildung ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle \Omega _{2}=A(\Omega _{1})}$ gibt, dann ist ${\displaystyle d_{1}(x,y)=d_{2}(Ax,Ay)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in \Omega _{1}}$.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} ^{n}}$ die Einheitskugel und ${\displaystyle d_{Hyp}}$ der Abstand im Beltrami-Klein-Modell des hyperbolischen Raumes, dann gilt

${\displaystyle d_{Hilb}=2d_{Hyp}}$.

Projektive Geometrie

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}$ eine eigentliche, offene, konvexe Teilmenge des projektiven Raumes. (Eine Menge ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}$ heißt eigentlich, wenn es eine ${\displaystyle \Omega }$ enthaltende affine Karte ${\displaystyle \Omega \subset U\cong V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ gibt, in der ${\displaystyle \Omega }$ einer beschränkten Menge ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}}$ entspricht.) Man definiert dann die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} P^{n}}$ durch die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle \Omega ^{\prime }\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Weil die Hilbert-Metrik invariant unter linearen Abbildungen ist, hängt die so definierte Metrik nicht von der Wahl der affinen Karte ab.

Innerhalb der projektiven Geometrie kann man ${\displaystyle d_{Hilb}(x,y)}$ interpretieren als das Doppelverhältnis der vier Punkte ${\displaystyle a,x,b,y}$ auf der durch ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ bestimmten projektiven Geraden.

Die Gruppe der Kollineationen

${\displaystyle Coll(\Omega )=\left\{g\in PGL(n+1,\mathbb {R} ):g\Omega =\Omega \right\}}$

ist eine Lie-Gruppe und wirkt durch Isometrien der Hilbert-Metrik, sie lässt sich isomorph zu einer Untergruppe von ${\displaystyle SL(n+1,\mathbb {R} )}$ hochheben.

Anwendungen

Die Hilbert-Metrik auf ${\displaystyle P(\mathbb {R} _{+}^{n})}$ wird in Birkhoffs Beweis des Satzes von Perron-Fronenius verwendet.

Weblinks

• Images des Maths: Géométrie de Hilbert

Literatur

• Yves Benoist: A survey on divisible convex sets (PDF; 165 kB)
• Ludovic Marquis: Around groups in Hilbert geometry (PDF; 2,5 MB)