Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ durch ${\displaystyle (\cos t,\sin t,0)}$ und ${\displaystyle (\cos t+1,0,\sin t)}$ parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ${\displaystyle S^{3}}$ ist homöomorph zu ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\times \left(0,1\right)}$. Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$, der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten

Das Jones-Polynom ist

${\displaystyle V(t)=-t-t^{-1}}$,

das HOMFLY-Polynom ist

${\displaystyle P(z,\alpha )=z^{-1}(\alpha ^{-1}-\alpha ^{-3})-z\alpha ^{-1}}$,

die Hopf-Verschlingung ist der ${\displaystyle (2,2)}$-Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$.

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

${\displaystyle h\colon S^{3}\to S^{2}}$

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen ${\displaystyle f\colon S^{3}\to S^{2}}$ die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante ${\displaystyle H(f)\in \mathbb {Z} }$ als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von ${\displaystyle f}$ und er bewies, dass die Zuordnung

${\displaystyle f\to H(f)}$

einen Isomorphismus

${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\to \mathbb {Z} }$

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie

• Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
• Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
• Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur

• Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (Göttinger Digitalisierungszentrum)
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

Weblinks

Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hopf Link auf MathWorld
• Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)