Jones-Polynom

Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in $\sqrt{t}$ .

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer

Sei $L$ eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom $⟨ L ⟩$ ist ein zu einem Diagramm von $L$ assoziiertes Laurent-Polynom in $A$ . Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel $X (L) = (- A^{3})^{- w (L)} ⟨ L ⟩$ , wobei $w (L)$ die Verwringung von $L$ bezeichnet. $X (L)$ ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom $V (L)$ erhält man, indem man $A = t^{- 1 / 4}$ in $X (L)$ substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen

Sei $L$ eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist $L$ der Abschluss eines Zopfes mit $n$ Komponenten. Eine Darstellung $ρ$ der Zopfgruppe $B_{n}$ in die Temperley–Lieb-Algebra $T L_{n}$ mit Koeffizienten in $ℤ [A, A^{- 1}]$ und $δ = - A^{2} - A^{- 2}$ wird definiert, indem man den Erzeuger $σ_{i}$ auf $A \cdot e_{i} + A^{- 1} \cdot 1$ abbildet, wobei $1, e_{1}, \dots, e_{n - 1}$ die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei $σ$ der zu $L$ assoziierte Zopf. Berechne $δ^{n - 1} tr ρ (σ)$ , wobei $tr$ die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom $⟨ L ⟩$ , aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

(t^{1 / 2} - t^{- 1 / 2}) V (L_{0}) = t^{- 1} V (L_{+}) - t V (L_{-}),

wobei $L_{+}$ , $L_{-}$ und $L_{0}$ orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Definition durch Chern-Simons-Theorie

Das Jones-Polynom kann nach Edward Witten mit einer topologischen Quantenfeldtheorie, der Chern-Simons-Theorie, definiert werden.

Anwendungen

Kauffman, Murasugi und Thistlethwaite benutzten das Jones-Polynom, um eine der aus dem 19. Jahrhundert stammenden Tait-Vermutungen zu beweisen: Für einen alternierenden Knoten hat jedes reduzierte Diagramm die kleinstmögliche Kreuzungszahl.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte

Für einen Knoten ist $V (1) = 1$ , für eine Verschlingung mit $l \geq 2$ Komponenten ist $V (1) = \frac{1}{2^{l - 1}}$ .
Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist $V (i) = (- \sqrt{2})^{l - 1} (- 1)^{A r f (L)}$ .
$V (e^{\frac{2 π i}{3}}) = 1$ .
Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Siehe auch

Literatur

Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society, 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (ams.org [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier, 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (knot.kaist.ac.kr [PDF; abgerufen am 2. Dezember 2012]).
Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. In: Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3–4, S. 271–335.
W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.

Weblinks

Edward Witten: Two Lectures on the Jones Polynomial and Khovanov Homology. (PDF; 619 kB)
Alan Chang: On the Jones polynomial and its applications.

Einzelnachweise

↑ Witten, op.cit.

[1] Witten, op.cit.