Huber-Paar

Ein Huber-Paar (auch affinoider Ring) ist ein spezielles Paar topologischer Ringe. Huber-Paare sind der Grundbaustein der von Roland Huber eingeführten adischen Räume, so wie kommutative Ringe die Grundbausteine von Schemata sind.

Definition

Ein Huber-Paar ${\displaystyle (A,A^{+})}$ besteht aus einem Huber-Ring ${\displaystyle A}$ und einem offenen und in ${\displaystyle A}$ ganzabgeschlossenen Teilring ${\displaystyle A^{+}}$, der im Ring potenz-beschränkter Elemente ${\displaystyle A^{\circ }\subset A}$ enthalten ist.

Ein Huber-Paar heißt Tate (bzw. vollständig), falls ${\displaystyle A}$ ein Tate-Ring (bzw. vollständiger Ring) ist.

Beispiele

• ${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p},\mathbb {Z} _{p})}$ mit der ${\displaystyle p}$-adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ eine topologisch nilpotente Einheit, denn ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }p^{n}=0}$ in der ${\displaystyle p}$-adischen Topologie.
• Sei ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ein endlicher Körper. Das Paar ${\displaystyle (\mathbb {F} ((t)),\mathbb {F} [[t]])}$ mit der ${\displaystyle t}$-adischen Topologie ist ein vollständiges Tate Huber-Paar. Es ist ${\displaystyle t\in \mathbb {F} ((t))^{\times }}$ ist eine topologisch nilpotente Einheit, denn ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t^{n}=0}$ in der ${\displaystyle t}$-adischen Topologie.
• Ist allgemeiner ${\displaystyle K}$ ein lokaler Körper mit Ganzheitsring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ und uniformisierendem Element ${\displaystyle \varpi }$, so ist ${\displaystyle (K,{\mathcal {O}}_{K})}$ ein vollständiges Tate Huber-Paar mit Definitionspaar ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K},\varpi {\mathcal {O}}_{K})}$.

Weblinks

• Sophie Morel: Adic spaces.

Einzelnachweise

1. ↑ Sophie Morel: Adic spaces. (PDF; 1,0 MB) 22. April 2019, abgerufen am 30. Dezember 2020, Def. III.1.7.