Integralexponentialfunktion

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion beziehungsweise das Exponentialintegral eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Die Ableitung der Integralexponentialfunktion ist die kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und somit elementar darstellbar. Das Exponentialintegral beschreibt die Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie die Stammfunktionen aus den Kehrwerten einiger Logarithmusfunktionen.

Definition

Das Exponentialintegral ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}$ ist über folgende Formel definiert:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}$

Da ${\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}$ bei ${\displaystyle t=0}$ divergiert, ist das obige Integral für ${\displaystyle x>0}$ als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln \left|x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\ ,}$

wobei ${\displaystyle \ln }$ der natürliche Logarithmus und ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ verwandt, es gilt

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad 0<x\neq 1.}$

Abgewandelte Integralexponentialfunktionen

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-tx)}{t+1}}\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}$

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

${\displaystyle \operatorname {Ei} (-x)=-\operatorname {E} _{1}(x).}$

Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {Ein} (x)}$ ist eine ganze Funktion und ist mit dem standardisierten Exponentialintegral sehr eng verwandt:

${\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{t}}{\bigl [}1-\exp(-tx){\bigr ]}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!(2n-1)}}-{\frac {x^{2n}}{(2n)!(2n)}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}}$

Zwischen der soeben genannten ganzen Funktion und den vorher genannten Exponentialintegralausdrücken gelten diese Beziehungen:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|-\operatorname {Ein} (-x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(x)=-\gamma -\ln |x|+\operatorname {Ein} (x)}$

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion:

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

Sie kann auch mit der nun folgenden Ausdrucksform verallgemeinert werden:

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t\quad \Re (x)>0}$

Integralhyperbelfunktionen

Durch arithmetische Mittelungen aus den Exponentialintegralausdrücken werden die Integralhyperbelfunktionen ${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)}$ und ${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)}$ gebildet:

${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)={\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (-x)}$

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)={\frac {1}{2}}\operatorname {Ei} (x)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ei} (-x)}$

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Ein} (-x)}$

So lauten ihre Integraldefinitionen:

${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {\sinh(tx)}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{1}{\frac {\cosh(tx)-1}{t}}\,\mathrm {d} t=}$

${\displaystyle =\gamma +\ln |x|+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh(t)-1}{t}}\,\mathrm {d} t}$

Literatur

• William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5).
• R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, S. 173–182)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Exponential Integral. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: En-Function. In: MathWorld (englisch).
• Maxim Lwowitsch Konzewitsch: Exponential Integral. Vorlesungsreihe (englisch), 2015.

Einzelnachweise

1. ↑ W. P. Reinhardt, P. L. Walker: Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Definitions and Interrelations. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 7. Dezember 2025 (Formel 6.2.5). 
2. ↑ W. P. Reinhardt, P. L. Walker: Exponential, Logarithmic, Sine and Cosine Integrals. Properties. Power Series. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 7. Dezember 2025 (Formel 6.6.1).