Integralsinus

Der Integralsinus ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine durch ein Integral gegebene Funktion. Joseph Liouville (1809–1882) bewies, dass der Kardinalsinus nicht elementar integrierbar ist.

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der Sinc-Funktion:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x):=\int _{0}^{x}\operatorname {si} (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t}$.

Eigenschaften

• Im Grenzübergang ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)}$ kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sin} (x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}}$

• Sinus:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

gilt mit der Integralexponentialfunktion ${\displaystyle \mathrm {Ei} }$

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Ei} (\mathrm {i} \ x)-\mathrm {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)+{\frac {\pi }{2}}}$

• Die Entwicklung in eine Taylorreihe an der Stelle 0 liefert die kompakt konvergente Reihe:

${\displaystyle \mathrm {Si} \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots \quad =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}x^{2k+1}}$

Eng verwandt ist der Integralkosinus ${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$, der zusammen mit dem Integralsinus ${\displaystyle \operatorname {Si} (x)}$ in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

Spezielle Werte

${\displaystyle \mathrm {Si} (\pi )=1{,}851937...}$ Wilbraham-Gibbs-Konstante

Verwandte Grenzwerte

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{2}t}{t^{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{3}t}{t^{3}}}\,dt={\frac {3}{8}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{4}t}{t^{4}}}\,dt={\frac {1}{3}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{6}t}{t^{6}}}\,dt={\frac {11}{40}}\pi }$

Weitere Integralidentitäten

Im Handbuch der mathematischen Funktionen von Milton Abramowitz und Irene Stegun werden weitere Integraldarstellungen für den Integralsinus und den Integralkosinus angegeben, die auf der Exponentialfunktion basieren und sich auf folgende Form bringen lassen:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \cos(x)-\operatorname {Si} (x)\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \sin(x)-\operatorname {Si} (x)\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)}$

Durch Linearkombination und unter Zuhilfenahme des „trigonometrischen Pythagoras“ folgt daraus:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

Siehe auch

• Integralexponentialfunktion
• Integralkosinus

Literatur

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 231 bis 233
• Horst Nasert: Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.
• Erwin O. Kreyszig (Referent: Alwin [Oswald] Walther; Korreferent: Curt [Otto Walther] Schmieden): Über den allgemeinen Integralsinus ${\displaystyle \mathrm {Si} (z,a)}$. Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Sine Integral. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. ↑ J. Liouville: „Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2, 56–105, 1837.
2. ↑ J. Liouville: „Suite du Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3, 523–547, 1838.
3. ↑ J. Liouville: „Mémoire. Sur l’integration d’une classe d’Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4, 423–456, 1839.
4. ↑ Joseph (Fels) Ritt: Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods. Columbia University Press, New York 1948.
5. ↑ Siegfried (Johannes) Gottwald: Handbuch der Mathematik. Ein Ratgeber für Schule und Praxis, zum Selbststudium besonders geeignet. Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1986. ISBN 3-8166-0015-8. S. 517 (704 S.).
6. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 771. 
7. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 526. 
8. ↑ Eric W. Weisstein: Wilbraham-Gibbs Constant. In: MathWorld (englisch).
9. ↑ Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. 9. Auflage. 1972, S. 231 bis 233 (englisch, Formeln 5.2.5 bis 5.2.13).