Inverse Normalverteilung

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist gegeben als

${\displaystyle F(x)=\operatorname {IG} \left(x;{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}};{\sqrt {\lambda }}\right):=1-\Phi \left({\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}}\right)+e^{2\mu }\Phi \left(-{\frac {\sqrt {\lambda }}{\sqrt {x}}}-{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}{\sqrt {x}}\right).}$

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu }$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}}$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

${\displaystyle \beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3}$.

Die Exzess-Kurtosis ist

${\displaystyle \gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)\right)}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

${\displaystyle m_{X}(s)=\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)\right)}$.

Reproduzierbarkeit

Sind ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$, dann ist die Größe ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern ${\displaystyle n\lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$.

Laplacetransformation

Die Laplacetransformation der inversen Normalverteilung ist

${\displaystyle \mathbb {E} [e^{-\lambda T}]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}\operatorname {IG} ({\text{d}}t;\zeta ;u)=\exp \left\{-u\left({\sqrt {2\lambda +\zeta ^{2}}}-\zeta \right)\right\}.}$

Diffusionsapproximationen

In der Versicherungsmathematik kann zur Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit die zeitliche Verteilung der Schäden mithilfe des Satzes von Donsker durch eine Brownsche Bewegung approximiert werden. Die dadurch approximierten Ruinwahrscheinlichkeiten basieren auf speziellen Parametrisierungen der inversen Normalverteilung.