Reguläre Matrix

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ mit Einträgen aus einem unitären Ring ${\displaystyle R}$ (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen) heißt regulär, wenn eine weitere Matrix ${\displaystyle B\in R^{n\times n}}$ existiert, sodass

${\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I}$

gilt, wobei ${\displaystyle I}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Die Matrix ${\displaystyle B}$ ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu ${\displaystyle A}$. Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle A}$ wird üblicherweise mit ${\displaystyle A^{-1}}$ bezeichnet. Bei einer singulären Matrix existiert keine solche Matrix ${\displaystyle B}$.

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen ${\displaystyle A\cdot B=I}$ und ${\displaystyle B\cdot A=I}$ äquivalent, das heißt, eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt, sprich, die obige Bedingung lässt sich durch ${\displaystyle B\cdot A=I}$ beziehungsweise ${\displaystyle A\cdot B=I}$ abschwächen.

Beispiele

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}}$

ist regulär, denn sie besitzt die Inverse

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$,

mit

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$.

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}}$

ist singulär, denn für jede Matrix

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

gilt

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2a+3c&2b+3d\\0&0\end{pmatrix}}\neq I}$.

Äquivalente Charakterisierungen

Weitere Beispiele

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3x^{3}&x^{2}-1\\3x^{2}+3&x\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Polynomring ${\displaystyle R=\mathbb {R} [x]}$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=3x^{3}\cdot x-(x^{2}-1)\cdot (3x^{2}+3)=3}$ und ${\displaystyle 3}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}x&1-x^{2}\\-3x^{2}-3&3x^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{3}}\cdot x&{\tfrac {1}{3}}\cdot (1-x^{2})\\-x^{2}-1&x^{3}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[1]_{17}\\{}[6]_{17}&[4]_{17}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenkörper ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /17\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[2]_{17}\cdot [4]_{17}-[1]_{17}\cdot [6]_{17}=[2]_{17}}$ und ${\displaystyle [2]_{17}}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{[2]_{17}}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[-1]_{17}\\{}[-6]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\frac {1}{[2]_{17}}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[16]_{17}\\{}[11]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[8]_{17}\\{}[14]_{17}&[1]_{17}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[3]_{12}&[7]_{12}\\{}[1]_{12}&[9]_{12}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[3]_{12}\cdot [9]_{12}-[7]_{12}\cdot [1]_{12}=[20]_{12}=[8]_{12}}$. Da ${\displaystyle 8}$ und ${\displaystyle 12}$ nicht teilerfremd sind, ist ${\displaystyle \det A=[8]_{12}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ nicht invertierbar. Daher ist ${\displaystyle A}$ nicht regulär.

Eigenschaften

Ist die Matrix ${\displaystyle A}$ regulär, so ist auch ${\displaystyle A^{-1}}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$.

Sind die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ regulär, so ist auch ihr Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$.

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Für eine reguläre Matrix ${\displaystyle A}$ gelten damit auch die Kürzungsregeln

${\displaystyle A\cdot B=A\cdot C\Rightarrow B=C}$

und

${\displaystyle B\cdot A=C\cdot A\Rightarrow B=C}$,

wobei ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ beliebige Matrizen passender Größe sind.

Blockmatrizen

Ist eine quadratische Blockmatrix ${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right)}$ gegeben, wobei ${\displaystyle A}$ und das Schur-Komplement ${\displaystyle M/A:=D-CA^{-1}B}$ von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix ist, dann ist auch ${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix und es gilt

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&0\\0&M/A\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{matrix}}\right)}$

Daraus folgt für die inverse Matrix

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}&=\left({\begin{matrix}I&A^{-1}B\\0&I\end{matrix}}\right)^{-1}\left({\begin{matrix}A&0\\0&M/A\end{matrix}}\right)^{-1}\left({\begin{matrix}I&0\\CA^{-1}&I\end{matrix}}\right)^{-1}\\&=\left({\begin{matrix}I&-A^{-1}B\\0&I\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A^{-1}&0\\0&(M/A)^{-1}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I&0\\-CA^{-1}&I\end{matrix}}\right)\\&=\left({\begin{matrix}A^{-1}+A^{-1}B(M/A)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(M/A)^{-1}\\-(M/A)^{-1}CA^{-1}&(M/A)^{-1}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}}$

Wenn ${\displaystyle D}$ und das Schur-Komplement ${\displaystyle M/D:=A-BD^{-1}C}$ von ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle M}$ eine reguläre Matrix ist, gilt entsprechend

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}I&BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}M/D&0\\0&D\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I&0\\D^{-1}C&I\end{matrix}}\right)}$

und für die inverse Matrix

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{-1}&=\left({\begin{matrix}I&0\\D^{-1}C&I\end{matrix}}\right)^{-1}\left({\begin{matrix}M/D&0\\0&D\end{matrix}}\right)^{-1}\left({\begin{matrix}I&BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right)^{-1}\\&=\left({\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&I\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}(M/D)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right)\\&=\left({\begin{matrix}(M/D)^{-1}&-(M/D)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C(M/D)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C(M/D)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}}$

Mithilfe dieser Formel kann die inverse Matrix einer quadratischen (${\displaystyle k\times k}$)-Blockmatrix ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$mit Blöcken der Dimension ${\displaystyle b\times b}$ effizient berechnet werden. Es ist also ${\displaystyle n=k\cdot b}$. Die Laufzeit für die Inversion beträgt ${\displaystyle O(k^{2}\cdot b^{3}\cdot 4^{k})}$. Im Vergleich dazu beträgt die Laufzeit für den Gauß-Jordan-Algorithmus ${\displaystyle O(n^{3})=O(k^{3}\cdot b^{3})}$.

Reguläre Matrizen über einem Restklassenkörper

Eine Matrix mit Einträgen aus einem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ ist genau dann regulär, wenn die Zeilenvektoren linear unabhängig sind.

Für den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ kann die Anzahl der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen wie folgt berechnet werden:

• Jedes der ${\displaystyle n}$ Elemente der 1. Zeile kann unabhängig voneinander 2 Werte annehmen. Der Nullvektor ist ausgeschlossen. Für die 1. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-1}$ Möglichkeiten.
• Für die 2. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile sind, also ${\displaystyle 2}$ Vektoren. Für die 2. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2}$ Möglichkeiten.
• Für die 3. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile und 2. Zeile sind, also ${\displaystyle 2^{2}}$ Vektoren. Für die 3. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2^{2}}$ Möglichkeiten.
• Allgemein gibt es für die Zeile mit dem Index ${\displaystyle k}$ also ${\displaystyle 2^{n}-2^{k-1}}$ mögliche Werte. Für alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt ${\displaystyle (2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})}$ Möglichkeiten.

Daraus lässt sich der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen an allen ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen bestimmen. Es gibt ${\displaystyle 2^{n\cdot n}=2^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, weil jedes der ${\displaystyle n\cdot n=n^{2}}$ Elemente unabhängig voneinander 2 Werte annehmen kann. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt daher

${\displaystyle {\begin{aligned}&(2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})/2^{n\cdot n}\\&={\frac {2^{n}-2^{0}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{1}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{2}}{2^{n}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2^{n}-2^{n-1}}{2^{n}}}\\&=\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-2}}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {1}{2^{1}}}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen ${\displaystyle |{\tfrac {1}{2}}|<1}$ gegen einen endlichen Grenzwert. Dieser beträgt etwa 0,289.

Dieses Ergebnis lässt sich für beliebige Primzahlen ${\displaystyle p}$ auf den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern. Es gibt ${\displaystyle p^{n\cdot n}=p^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, von denen ${\displaystyle (p^{n}-p^{0})\cdot (p^{n}-p^{1})\cdot (p^{n}-p^{2})\cdot \ldots \cdot (p^{n}-p^{n-1})}$ reguläre ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen sind. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{p}}\right)^{k}\right)}$.

Singuläre Matrizen

Eine singuläre Matrix ist eine quadratische Matrix die den Eigenwert null besitzt, d. h., es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der von der Matrix auf ersteren abgebildet wird. Alle Vektoren, die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, erzeugen den Eigenraum zum Eigenwert null. Die Dimension dieses Eigenraumes ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null.

Alle Vektoren, die von der singulären Matrix ${\displaystyle A}$ auf den Nullvektor abgebildet werden, können mit der Äquivalenztransformation der Matrix ermittelt werden. Hat diese die Dimension ${\displaystyle n}$, wird sie im oberen rechten Quadrant einer erweiterten Matrix der Dimension ${\displaystyle 2n}$ eingetragen und links daneben sowie darunter die entsprechende Einheitsmatrix:

	${\displaystyle E}$	${\displaystyle A}$
		${\displaystyle E}$

Der untere linke Quadrant ist irrelevant und kann mit Nullen gefüllt werden, muss aber nicht. In dieser erweiterten Matrix werden in der oberen Hälfte Vielfache einer Zeile – der Pivotzeile – zu einer anderen Zeile addiert, und in der rechten Hälfte geschieht entsprechendes mit den Spalten. Ziel dieser Transformationen ist die Überführung des oberen rechten Quadranten in eine Pivotmatrix, die in jeder Spalte und Zeile höchstens einen von null verschiedenen Eintrag hat. Zeilen ohne einen solchen Eintrag enthalten links daneben den zugehörigen Linkseigenvektor und Spalten ohne Eintrag in der Pivotmatrix weisen darunter den Rechtseigenvektor auf.

Als Beispiel diene die Matrix

${\displaystyle A=}$	0	−3	3
	8	−10	6
	8	−6	2

Zwei Nullenkreuze liefern:

	1	0	0	0	−3	3		⇒		1	0	0	0	0	3
	0	1	0	8	−10	6				−2	1	0	8	0	0
	0	0	1	8	−6	2				4/3	−1	1	0	0	0
				1	0	0					L		1	1/2	0
				0	1	0						R	0	1	0
				0	0	1							0	1	1

Die durchgeführten Transformationen können an den Matrizen L im oberen linken und R im unteren rechten Quadranten abgelesen werden:

• Der gelb unterlegte Linkseigenvektor resultiert aus der Summe aus der dritten Zeile, dem 4/3 fachen der ersten Zeile und der negativen zweiten Zeile.
• Der ebenso unterlegte Rechtseigenvektor berechnet sich aus der Summe der fünften und sechsten Spalte mit der hälfte der vierten.

Und es stimmt:

(4/3  −1  1)		0	−3	3	＝ (0 0 0)
		8	−10	6
		8	−6	2

	0	−3	3		1/2	＝	0
	8	−10	6		1		0
	8	−6	2		1		0

Die folgende Python Funktion automatisiert diese Methode, die auch für #Nicht quadratische Matrizen funktioniert.

def eigenraeume( A, tol=1.e-6 ):
    'berechnet eigenvektoren u, v, mit A.v=0*v oder u.A=0*u. tol: toleranz'
    n, m, nm, R = len( A ), len( A[ 0 ] ), len( A ) + len( A[ 0 ] ), []
    rn, rnm, rr = list( range( n ) ), range( nm ), list( range( n, nm ) )
    M = [ nm*[ 0. ] for i in rnm ]            # erweiterte matrix
    for i in rn:
        M[ i ][ n: ] = A[ i ]                 # A oben rechts
        M[ i ][ i ]  = 1.                     # E links
    for j in rr:
        M[ j ][ j ]  = 1.                     # und unten rechts
    for iter in range( min( m,n ) ):          # groesstes pivot a suchen
        a, i, j, Mij = max([ max([( abs( M[ k ][ l ] ), k, l, M[ k ][ l ] )
           for k in rn ]) for l in rr ])      # pivot Mij
        if a < tol:                           # betraglich groesstes pivot=0
            break                             # abbruch
        rn.remove( i ); rr.remove( j )        # pivot zeilen/spalten ignorieren
        for k in rn:                          # spaltenreduktion
            q = -M[ k ][ j ]/Mij              # l == j -> M[ k ][ l ] == 0
            M[ k ] = [ M[ k ][ l ] + q*M[ i ][ l ] for l in rnm ]
        for l in rr:                          # zeilenreduktion
            q = -M[ i ][ l ]/Mij
            for k in rnm:
                M[ k ][ l ] += q*M[ k ][ j ]  # k == i -> M[ k ][ l ] == 0
    L = [ M[ i ][ :n ] for i in rn ]          # eigenzeilen
    for j in rr:                              # eigenspalten
        R.append([ M[ k ][ j ] for k in range( n, nm ) ])
    return ( R, L )                           # eigenraeume

Nicht quadratische Matrizen

Nichtquadratische m×n-Matrizen sind weder regulär noch singulär. Wohl aber ist hier der Fall ausgezeichnet, dass entweder ihre Zeilen (für m < n) oder ihre Spalten (für m > n) linear unabhängig sind, dass also für den Rang r = m < n bzw. r = n < m gilt. Derartige Matrizen heißen zeilenregulär bzw. spaltenregulär.

Ein Matrizenprodukt kann Null sein, ohne dass einer der beiden Faktoren selbst Null ist:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-2&4\\-2&3&-5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\\3&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}=:O}$

Es gilt:

• Zu einer m×n-Matrix A≠O gibt es genau dann n×p-Matrizen B≠O derart dass AB=O ist, wenn die Spalten von A linear abhängig sind.
• Zu einer n×p-Matrix B≠O gibt es genau dann m×n-Matrizen A≠O derart dass AB=O ist, wenn die Zeilen von B linear abhängig sind.
• Aus AB = O mit A≠O folgt dann und nur dann B=O, wenn A spaltenregulär (insbesondere quadratisch nichtsingulär) ist. Und analog: aus AB=O mit B≠O folgt dann und nur dann A=O, wenn B zeilenregulär (insbesondere quadratisch nichtsingulär) ist.
• Aus AB=AC folgt dann und nur dann B=C, wenn A spaltenregulär (insbesondere quadratisch nichtsingulär) ist.

Der Spaltenraum ist der von den Spaltenvektoren einer m×n-Matrix ∈ K^m×n aufgespannte Unterraum des K^m. Entsprechend ist der Zeilenraum der von den Zeilenvektoren aufgespannte Unterraum des Kⁿ. Die Dimension des Spaltenraumes ist der Spaltenrang und der Zeilenrang ist entsprechend die Dimension des Zeilenraumes. Spaltenrang und Zeilenrang sind stets gleich.

Literatur

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6. 

Weblinks

• Non-singular matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Nonsingular Matrix. In: MathWorld (englisch).
• CWoo: Invertible matrix. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Stephen M. Watt: Pivot-Free Block Matrix Inversion. Hrsg.: University of Western Ontario. (uwo.ca [PDF]). 
2. ↑ Iria C. S. Cosme, Isaac F. Fernandes, Joao L. de Carvalho, Samuel Xavier-de-Souza: Memory-Usage Advantageous Block Recursive Matrix Inverse. Abgerufen am 26. Oktober 2026. 
3. ↑ StackExchange: Number of non singular matrices over a finite field of order 2. 2018, abgerufen am 26. Oktober 2026. 
4. Klaus Jänich: Lineare Algebra. 11. Auflage. Springer-Lehrbuch, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-75502-9, S. 197, doi:10.1007/978-3-540-75502-9. 
   1. ↑ S. 197ff
5. R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2, S. 107. 
   1. ↑ S. 107
6. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 5 (Sed bis Zyl). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 51, 445, doi:10.1007/978-3-662-53506-6.