Irwin-Hall-Verteilung

Die Irwin-Hall-Verteilung, nach Joseph Oscar Irwin und Philip Hall benannt, ist die Verteilung der Summe von voneinander unabhängigen, im Intervall $[0, 1]$ gleichverteilten Zufallsvariablen.

Die Dichtefunktion der Irwin-Hall-Verteilung für $n$ Summanden ist

f_{n} (x) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} sgn (x - k)

.

Tabelle der Verteilungsdichten

Diese Tabelle zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen bei Summierung von einer bis sechs unabhängigen Zufallsvariablen, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind. Sie haben den Namen Irwin-Hall-Verteilung.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Verteilungsdichte	Bild
$f_{1} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & x > 1 \end{matrix}$
$f_{2} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ x & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 - x & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x > 2 \end{matrix}$
$f_{3} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & 0 \leq x \leq 1 \\ - x^{2} + 3 x - \frac{3}{2} & 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{(3 - x)^{2}}{2} & 2 \leq x \leq 3 \\ 0 & x > 3 \end{matrix}$
$f_{4} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{x^{3}}{6} & 0 \leq x \leq 1 \\ - \frac{x^{3}}{2} + 2 x^{2} - 2 x + \frac{2}{3} & 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{x^{3}}{2} - 4 x^{2} + 10 x - \frac{22}{3} & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{(4 - x)^{3}}{6} & 3 \leq x \leq 4 \\ 0 & x > 4 \end{matrix}$
$f_{5} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{x^{4}}{24} & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{- 5 + 20 x - 30 x^{2} + 20 x^{3} - 4 x^{4}}{24} & 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{155 - 300 x + 210 x^{2} - 60 x^{3} + 6 x^{4}}{24} & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{- 655 + 780 x - 330 x^{2} + 60 x^{3} - 4 x^{4}}{24} & 3 \leq x \leq 4 \\ \frac{(5 - x)^{4}}{24} & 4 \leq x \leq 5 \\ 0 & x > 5 \end{matrix}$
$f_{6} (x) = {\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{x^{5}}{120} & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{6 - 30 x + 60 x^{2} - 60 x^{3} + 30 x^{4} - 5 x^{5}}{120} & 1 \leq x \leq 2 \\ \frac{- 237 + 585 x - 570 x^{2} + 270 x^{3} - 60 x^{4} + 5 x^{5}}{60} & 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{2193 - 3465 x + 2130 x^{2} - 630 x^{3} + 90 x^{4} - 5 x^{5}}{60} & 3 \leq x \leq 4 \\ \frac{- 10974 + 12270 x - 5340 x^{2} + 1140 x^{3} - 120 x^{4} + 5 x^{5}}{120} & 4 \leq x \leq 5 \\ \frac{(6 - x)^{5}}{120} & 5 \leq x \leq 6 \\ 0 & x > 6 \end{matrix}$

Herleitung

Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist

f_{1} (x) = {\begin{matrix} 0, & wenn x \leq 0 \\ 1, & wenn x \in] 0, 1] \\ 0, & wenn x > 1 . \end{matrix}

Es sei

f_{k} (x) = {\begin{matrix} 0, & wenn x \leq 0 \\ f_{k, 1} (x), & wenn x \in] 0, 1] \\ \dots \\ f_{k, j} (x), & wenn x \in] j - 1, j] \\ \dots \\ f_{k, k} (x), & wenn x \in] k - 1, k] \\ 0, & wenn x > k \end{matrix}

die Verteilungsdichte der Summe von $k$ standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also $f_{k, j} (x)$ die Verteilungsdichte der Summe von $k$ standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall $] j - 1, j]$ .

Im Folgenden bezeichne $Z_{k}$ eine Zufallsvariable, die gemäß $f_{k}$ verteilt ist. Gemäß der Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich Folgendes: Für $x \in] j - 1, j]$ ist

\begin{matrix} f_{k + 1, j} (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{k} (t - x) \cdot f_{1} (x) d x \\ = \int_{0}^{1} f_{k} (t - x) \cdot 1 d x & Substitution: y = t - x \\ = \int_{t - 1}^{t} f_{k} (y) d y \\ = \int_{t - 1}^{j - 1} f_{k, j - 1} (y) d y + \int_{j - 1}^{t} f_{k, j} (y) d y . \end{matrix}

Das heißt, der $j$ -te Zweig der Verteilungsdichte $f_{k + 1}$ ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von $f_{k}$ .

Einzelnachweise

↑ Oscar Irwin: On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 225–239, doi:10.1093/biomet/19.3-4.225, JSTOR:2331960.
↑ Philip Hall: The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 240–245, doi:10.1093/biomet/19.3-4.240, JSTOR:2331961.

[1] Oscar Irwin: On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 225–239, doi:10.1093/biomet/19.3-4.225, JSTOR:2331960.

[2] Philip Hall: The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable. In: Biometrika. Band 19, Nr. 3/4, 1927, S. 240–245, doi:10.1093/biomet/19.3-4.240, JSTOR:2331961.