Isogenie

In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus $ϕ : A \to B$ von Abelschen Varietäten $A$ und $B$ eine Isogenie, wenn $ϕ$ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie $ϕ : A \to B$ , so heißen die Abelschen Varietäten $A$ und $B$ isogen. Speziell sind Isogenien „rationale“ Abbildungen zwischen elliptischen Kurven, welche das Gruppengesetz respektieren.

Definition

Sind $A$ und $B$ Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus $ϕ : A \to B$ äquivalent:

$ϕ$ ist eine Isogenie, das heißt $ϕ$ ist surjektiv und der Kern von $ϕ$ ist endlich.
$A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und $ϕ$ ist surjektiv.
$A$ und $B$ besitzen die gleiche Dimension und der Kern von $ϕ$ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man $A$ und $B$ isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.
↑ James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur

Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch).
David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).

[1] F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.

[MilneAVPropIsogeny-2] James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)