Isoperimetrischer Punkt

Der isoperimetrische Punkt ist ein ausgezeichneter Punkt in einem Dreieck ABC. Es handelt sich um den Punkt P in diesem Dreieck, für den die Teildreiecke PBC, PCA und PAB gleichen Umfang haben. Der isoperimetrische Punkt hat die Kimberling-Nummer X(175).

Eigenschaften

• Der isoperimetrische Punkt ist harmonisch verwandt zum Punkt des gleichen Umwegs in Bezug auf den Inkreismittelpunkt und den Gergonne-Punkt und somit kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umfänge von PBC, PCA und PAB betragen ${\displaystyle {\tfrac {2\triangle }{\left\vert 4R+r-(a+b+c)\right\vert }}}$ und sind gleich dem Durchmesser des äußeren Soddy-Kreises.
• Der isoperimetrische Punkt existiert genau dann, wenn der Umfang von ABC größer ist als ${\displaystyle 4R+r}$, wobei ${\displaystyle R}$ der Radius des Umkreises und ${\displaystyle r}$ der Radius des Inkreises ist.
• In einem rechtwinkligen Dreieck existiert der isoperimetrische Punkt immer und ist er besonders einfach zu finden. Der Radius des äußeren Soddy-Kreises ist in dem Fall gleich dem Halbumfang.

Koordinaten

Isoperimetrischer Punkt (${\displaystyle X_{175}}$)
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle \left(\sec {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1\right):\left(\sec {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-1\right):\left(\sec {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}-1\right)}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle \left(a-{\frac {\Delta }{s-a}}\right):\left(b-{\frac {\Delta }{s-b}}\right):\left(c-{\frac {\Delta }{s-c}}\right)}$

Hierbei steht ${\displaystyle \Delta }$ für den Flächeninhalt und ${\displaystyle s}$ für den halben Umfang von ABC.

Literatur

• G. R. Veldkamp: The Isoperimetric Point and the Point(S) of Equal Detour in a Triangle. In: The American Mathematical Monthly, Band 92, Nr. 8, Okt. 1985, S. 546–558 (JSTOR:2323159)

Weblinks

• Isoperimetrisch punt (niederländisch)
• C. Kimberling: Isoperimetric Point And Equal Detour Point
• Eric W. Weisstein: Isoperimetric Point. In: MathWorld (englisch).
• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf GeoGebratube