Itō-Formel

Die Itō-Formel (auch Itō-Döblin-Formel; selten auch Lemma von Itō), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.

Itô publizierte 1951 einen Beweis.

Version für Wiener-Prozesse

Sei $(W_{t})_{t \geq 0}$ ein (Standard-)Wiener-Prozess und $h : ℝ \to ℝ$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

h (W_{t}) = h (W_{0}) + \int_{0}^{t} h^{'} (W_{s}) d W_{s} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} h^{″} (W_{s}) d s .

Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch $Y_{t} = h (W_{t})$ für $t \geq 0$ definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

d Y_{t} = h^{'} (W_{t}) d W_{t} + \frac{1}{2} h^{″} (W_{t}) d t .

Version für Itō-Prozesse

Ein stochastischer Prozess $(X_{t})_{t \geq 0}$ heißt Itō-Prozess, falls

X_{t} = X_{0} + \int_{0}^{t} a_{s} d s + \int_{0}^{t} b_{s} d W_{s}

für zwei stochastische Prozesse $a_{s}$ , $b_{s}$ gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

d X_{t} = a_{t} d t + b_{t} d W_{t} .

Ist $h : ℝ_{+} \times ℝ \to ℝ$ eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch $Y_{t} := h (t, X_{t})$ definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt

\begin{matrix} d Y_{t} & = \frac{\partial h}{\partial t} (t, X_{t}) d t + \frac{\partial h}{\partial x} (t, X_{t}) d X_{t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}} (t, X_{t}) (d X_{t})^{2} \\ = (\frac{\partial h}{\partial x} (t, X_{t}) a_{t} + \frac{\partial h}{\partial t} (t, X_{t}) + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} h}{\partial x^{2}} (t, X_{t}) b_{t}^{2}) d t + \frac{\partial h}{\partial x} (t, X_{t}) b_{t} d W_{t} . \end{matrix}

Hierbei bezeichnen $\frac{\partial h}{\partial t}$ und $\frac{\partial h}{\partial x}$ die partiellen Ableitungen der Funktion $h$ nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von $(d X_{t})^{2} = b_{t}^{2} d t$ und Zusammenfassen der $d t$ - und $d W_{t}$ -Terme.

Mehrdimensionale Version

Die Formel lässt sich auf $n$ Itō-Prozesse $X = (X_{1}, \dots, X_{n})$ verallgemeinern. Sei $h : [0, \infty) \times ℝ^{n}$ in $C^{1}$ in der ersten und $C^{2}$ in den restlichen Variablen. Definiere $Y (t) := h (t, X (t))$ dann gilt

d Y (t) = \frac{\partial h}{\partial t} (t, X (t)) d t + \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial h}{\partial i} (t, X (t)) d X_{i} (t) + \frac{1}{2} \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} h}{\partial i \partial j} (t, X (t)) d [X_{i}, X_{j}] (t) .

Version für Semimartingale

Sei $(X_{t})_{t \geq 0} = (X_{t}^{1}, \dots, X_{t}^{d})_{t \geq 0}$ ein $ℝ^{d}$ -wertiges Semimartingal und sei $F \in C^{2} (ℝ^{d}, ℝ)$ . Dann ist $(F (X_{t}))_{t \geq 0}$ wieder ein Semimartingal und es gilt

\begin{matrix} F (X_{t}) - F (X_{0}) = & \sum_{j = 1}^{d} \int_{0 +}^{t} \frac{\partial F}{\partial x^{j}} (X_{s -}) d X_{s}^{j} + \frac{1}{2} \sum_{j, k = 1}^{d} \int_{0 +}^{t} \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{j} \partial x^{k}} (X_{s -}) d [X^{j}, X^{k}]_{s}^{c} \\ + \sum_{0 < s \leq t} (F (X_{s}) - F (X_{s -}) - \sum_{j = 1}^{d} \frac{\partial F}{\partial x^{j}} (X_{s -}) Δ X_{s}^{j}) . \end{matrix}

Hierbei bedeutet:

$X_{s -} = {lim}_{u ↑ s} X_{u}$ der linksseitige Grenzwert,
das Integrationsgebiet $1_{[0 +, t]}$ bedeutet $1_{(0, t]}$ . Ein Semimartingal kann bei $X_{0}$ einen Sprung haben, das heißt $X_{0} \neq X_{0 +}$ und somit wird sichergestellt, dass nur über $(0, t]$ integriert wird und der Anfangswert $F (X_{0})$ wird deshalb nicht über das Integral gedeckt.
$Δ X_{s}^{j} = X_{s}^{j} - X_{s -}^{j}$ der zugehörige Sprungprozess.
Mit $[X^{j}, X^{k}]^{c}$ wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten $X^{j}$ und $X^{k}$ bezeichnet.

Falls $X$ ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte große Klammer nach dem Plus und es gilt $[X^{j}, X^{k}]^{c} = [X^{j}, X^{k}]$ .

Bemerkung

Schreibt man den Ausdruck $[X^{j}, X^{k}]_{t}^{c} := [X^{j}, X^{k}]_{t} - \sum_{s \leq t} Δ X_{s}^{j} Δ X_{s}^{k}$ aus, so erhält man für eine Funktion $f \in C^{2} (ℝ^{d}, ℝ)$ die Form

\begin{matrix} f (X_{t}) - f (X_{0}) = & \sum_{j = 1}^{d} \int_{0 +}^{t} \frac{\partial f}{\partial x^{j}} (X_{s -}) d X_{s}^{j} + \frac{1}{2} \sum_{j, k = 1}^{d} \int_{0 +}^{t} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{j} \partial x^{k}} (X_{s -}) d [X^{j}, X^{k}]_{s} \\ + \sum_{0 < s \leq t} (Δ f (X_{s}) - \sum_{j = 1}^{d} \frac{\partial f}{\partial x^{j}} (X_{s -}) Δ X_{s}^{j} - \frac{1}{2} \sum_{k, j = 1}^{d} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{j} \partial x^{k}} (X_{s -}) Δ X_{s}^{j} Δ X_{s}^{k}) . \end{matrix}

wobei $Δ f (X_{s}) := f (X_{s}) - f (X_{s -})$ .

Für das Stratonowitsch-Integral

Sei $X = (X^{1}, \dots, X^{n})$ ein $ℝ^{n}$ -Semimartingal und $f \in C^{2} (ℝ^{n}, ℝ)$ , dann ist $f (X)$ ein Semimartingal und es gilt

f (X_{t}) - f (X_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} \int_{0 +}^{t} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (X_{s -}) \circ d X_{s}^{i} + \sum_{0 < s \leq t} (f (X_{s}) - f (X_{s -}) - \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (X_{s -}) Δ X_{s}^{i}) .

Version für Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation

Hans Föllmer erweiterte die Formel von Itō auf (deterministische) Funktionen mit beschränkter quadratischer Variation.

Sei $f \in C^{2}$ eine reellwertige Funktion und $x : [0, \infty [\to ℝ$ eine Càdlàg-Funktion mit endlicher quadratischer Variation. Dann gilt

\begin{matrix} f (x_{t}) & = f (x_{0}) + \int_{0}^{t} f^{'} (x_{s -}) d x_{s} + \frac{1}{2} \int_{] 0, t]} f^{″} (x_{s -}) d [x, x]_{s} \\ + \sum_{0 \leq s \leq t} (f (x_{s}) - f (x_{s -}) - f^{'} (x_{s -}) Δ x_{s} - \frac{1}{2} f^{″} (x_{s -}) (Δ x_{s})^{2})) . \end{matrix}

Föllmers Definition von endlicher quadratischer Variation benötigt eine schwer nachweisbare Bedingung an die Lebesgue-Zerlegung eines bestimmt gewählten Radonmaßes. So müssen nämlich die Atome des Maßes eindeutig den Sprüngen der Funktion entsprechen. Eine alternative Definition der pfadweisen quadratischen Variation führt Vladimir Vovk ein, die unter gewissen zusätzlichen Bedingungen der Föllmerschen Definition gleicht. Henry Chiu und Rama Cont hingegen nutzen Eigenschaften der Skorochod-Topologie auf dem Raum $𝒟$ aller Càdlàg-Funktionen aus, um der Bedingung an die Lebesgue-Zerlegung auszuweichen. Dadurch lässt sich die pfadweise quadratische Variation auch im mehrdimensionalen Rahmen definieren und überdies die Lebesgue-Zerlegung als Folgerung erhalten.

Beispiele

Für $Y_{t} = \sin (W_{t})$ gilt $d Y_{t} = \cos (W_{t}) d W_{t} - \frac{1}{2} \sin (W_{t}) d t$ .

Mit Hilfe der Formel kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung $S_{t} = S_{0} e^{r t - \frac{1}{2} σ^{2} t + σ W_{t}}$ eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes $d S_{t} = r S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t}$ ist. Hierzu wählt man $X_{t} = W_{t}$ , also $a_{t} = 0, b_{t} = 1$ . Dann ergibt die Formel mit $h (t, x) = S_{0} e^{r t - \frac{1}{2} σ^{2} t + σ x}$ :

d S_{t} = [(r - \frac{σ^{2}}{2} + \frac{σ^{2}}{2}) S_{0} e^{r t - \frac{1}{2} σ^{2} t + σ W_{t}}] d t + [σ S_{0} e^{r t - \frac{1}{2} σ^{2} t + σ W_{t}}] d W_{t} = r S_{t} d t + σ S_{t} d W_{t} .

Ist $(𝐖_{t})_{t \geq 0}$ ein $d$ -dimensionaler Wiener-Prozess und $F : ℝ^{d} \to ℝ$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für $Y_{t} = F (𝐖_{t})$

d Y_{t} = \nabla F (𝐖_{t})^{𝖳} \cdot d 𝐖_{t} + \frac{1}{2} Δ F (𝐖_{t}) d t

,

wobei

\nabla F

den Gradienten und

Δ F

den Laplace-Operator von

F

bezeichnen.

Unendlich-dimensionale Itō-Formeln

Es gibt verschiedene Varianten von Itō-Formeln für unendlich-dimensionale Räume (z. B. Pardoux, Gyöngy-Krylow, Brzezniak-van Neerven-Veraar-Weis).

Siehe auch

Euler-Maruyama-Verfahren

Literatur

Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

Einzelnachweise

↑ Kiyoshi Itô: On a formula concerning stochastic differentials. In: Nagoya Math. J. Band 3, 1951, S. 55–65 (projecteuclid.org).
↑ Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.
↑ Hans Föllmer: Calcul d'Ito sans probabilités. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 15, 1981, S. 143–144 (numdam.org).
↑ François Coquet, Adam Jakubowski, Jean Mémin, Leszek Słominski: Natural Decomposition of Processes and Weak Dirichlet Processes. In: In Memoriam Paul-André Meyer. Band 1874. Springer Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 978-3-540-30994-9, S. 81–116, doi:10.1007/978-3-540-35513-7_8 (springer.com [abgerufen am 25. Januar 2026]).
↑ Henry Chiu, Rama Cont: On pathwise quadratic variation for càdlàg functions. In: Electronic Communications in Probability. Band 23, none, 1. Januar 2018, ISSN 1083-589X, doi:10.1214/18-ECP186 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]).
↑ E. Pardoux, E: Équations aux dérivées partielles stochastiques de type monotone. In: Séminaire Jean Leray. Nr. 3, 1974 (numdam.org).
↑ I. Gyöngy und N. V. Krylov: Ito formula in banach spaces. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Arató, M., Vermes, D., Balakrishnan, A.V. (eds) Stochastic Differential Systems. Band 36, 1981, doi:10.1007/BFb0006409.
↑ Z. Brzezniak, J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Ito's formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation. 2008.

[1] Kiyoshi Itô: On a formula concerning stochastic differentials. In: Nagoya Math. J. Band 3, 1951, S. 55–65 (projecteuclid.org).

[2] Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 277–278.

[4] Hans Föllmer: Calcul d'Ito sans probabilités. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 15, 1981, S. 143–144 (numdam.org).

[5] François Coquet, Adam Jakubowski, Jean Mémin, Leszek Słominski: Natural Decomposition of Processes and Weak Dirichlet Processes. In: In Memoriam Paul-André Meyer. Band 1874. Springer Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 978-3-540-30994-9, S. 81–116, doi:10.1007/978-3-540-35513-7_8 (springer.com [abgerufen am 25. Januar 2026]).

[6] Henry Chiu, Rama Cont: On pathwise quadratic variation for càdlàg functions. In: Electronic Communications in Probability. Band 23, none, 1. Januar 2018, ISSN 1083-589X, doi:10.1214/18-ECP186 (projecteuclid.org [abgerufen am 25. Januar 2026]).

[7] E. Pardoux, E: Équations aux dérivées partielles stochastiques de type monotone. In: Séminaire Jean Leray. Nr. 3, 1974 (numdam.org).

[8] I. Gyöngy und N. V. Krylov: Ito formula in banach spaces. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Arató, M., Vermes, D., Balakrishnan, A.V. (eds) Stochastic Differential Systems. Band 36, 1981, doi:10.1007/BFb0006409.

[9] Z. Brzezniak, J. M. A. M. van Neerven, M. C. Veraar und L. Weis: Ito's formula in UMD Banach spaces and regularity of solutions of the Zakai equation. 2008.