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Rinne war bis Ende 2009 in seinem Heimatort bei der Jugend des Laxå IF aktiv. Zum 1. Januar 2010 wurde er vom Drittligisten BK Forward verpflichtet. Bei dem Verein aus Örebro kam er zu regelmäßigen Einsätzen und weckte das Interesse höherklassiger Klubs. Im Januar 2013 absolvierte er ein Probetraining beim Örebro SK, zudem lud David Moyes den 20-jährigen Rinne für eine Woche zum Premier-League-Teilnehmer FC Everton ein. Im Mai 2013 unterzeichnete er schließlich einen langfristig ausgelegten Vertrag beim Örebro SK, verblieb für den Rest des Jahres allerdings noch auf Leihe beim BK Forward. Sein Debüt für den ÖSK absolvierte er bereits zum Saisonauftakt der Fotbollsallsvenskan 2014, als Stammtorhüter Oscar Jansson zur Halbzeit ausschied und Rinne eingewechselt werden musste. Nachdem sich Jansson im Mai 2014 den Unterarm gebrochen hatte, kam Rinne bis zu dessen Rückkehr im August 2014 regelmäßig zum Einsatz in der höchsten schwedischen Liga. Im November 2014 war Rinne für ein Probetraining beim AFC Bournemouth erneut in England, blieb aber Örebro treu und stellte sich dem Konkurrenzkampf mit Jansson. Nach einigen Spielen im Mai 2015 setzte er sich im August 2015 teamintern durch und verdrängte Jansson auf die Bank. Zum Jahresende verlängerte er seinen Vertrag mit Örebro, verließ den Verein aber dennoch im Juli 2016 in Richtung Belgien.
Beim KAA Gent unterzeichnete er einen Vierjahresvertrag. In der Saison 2016/17 erkämpfte er sich gegen Yannick Thoelen die Nummer 1 und stand zu Saisonbeginn zwischen den Pfosten. Im Oktober verlor er seinen Stammplatz jedoch zunächst an Thoelen und stand ab Januar 2018 im Schatten des neu zum Verein gewechselten Lovre Kalinić. Die Wege von Klub und Torhüter trennten sich daher bereits nach einem Jahr und Rinne wechselte in die dänische Superliga zum Aalborg BK. Der nordjütländische Verein verpflichtete ihn aufgrund der Verletzung des Reservetorwarts Michael Lansing, nach dem Abgang von Nicolai Larsen stieg Rinne jedoch selber zum Stammtorhüter auf. In dieser Rolle fungierte Rinne für mehrere Jahre ungefährdet. Im Mai 2021 wurde Rinne mit seinem 134. Einsatz für den Verein zum erfolgreichsten ausländischen Spieler der Vereinsgeschichte. Bei der jährlich durchgeführten Abstimmung unter den Torhütern der Superliga und 1. Division erreichte Rinne mehrmals vordere Platzierungen. Im Dezember 2021 gewann er die Abstimmung deutlich und wurde mit dem Det Gyldne Bur ausgezeichnet. Im Sommer 2022 verließ er den Verein auf eigenen Wunsch. In den fünf Jahren in Aalborg absolvierte er 167 offizielle Einsätze.
Zur Saison 2022/23 schloss sich Rinne dem al-Fateh SC in der saudischen Profiliga an. Mit der Mannschaft absolvierte er 60 Ligaspiele in zwei Spielzeiten. Im August 2024 wechselte er zum Djurgårdens IF und kehrte damit nach acht Jahren nach Schweden zurück. Bereits während seiner Zeit in Örebro wurde er mit dem Verein in Verbindung gebracht. Des Weiteren äußerte er seinerzeit starke Sympathien, die bis in seine Kindheit zurückreichen. Beim Stockholmer Verein wurde er zum Stammtorhüter, nachdem Jacob Widell Zetterström ebenfalls im August zu Derby County wechselte. Mit dem Jahreswechsel verschlechterte sich die Situation für Rinne jedoch. Kurz vor Saisonbeginn verpflichtete der DIF im März 2025 Filip Manojlović und Rinne büßte seine sichere Position im Tor ein. Insgesamt kam er im Jahr 2025 nur zu acht unregelmäßigen Einsätzen. Zur Saison 2026 setzte er sich hingegen wieder als Stammtorhüter durch.
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