Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!}$ ist die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion ${\displaystyle f}$ bezüglich der Standardbasen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$ bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt ${\displaystyle x}$ im Urbildraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ die jeweils zugehörigen Koordinaten.

Dann ist für ${\displaystyle a\in U}$ die Jacobi-Matrix im Punkt ${\displaystyle a}$ definiert durch

${\displaystyle J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}}$.

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ von ${\displaystyle f}$.

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}$ von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle a}$ sind ${\displaystyle Df(a)}$, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(a)}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)}$.

Beispiel

Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}$ sei gegeben durch

${\displaystyle f(x,y,z)={\binom {x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin x}{z^{2}+z\cdot \sin y}}}$

Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)&={\binom {2x+z\cdot \cos x}{0}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)&={\binom {2y}{z\cdot \cos y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)&={\binom {\sin x}{2z+\sin y}}\end{aligned}}}$

und damit die Jacobi-Matrix

${\displaystyle J_{f}(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos x&2y&\sin x\\0&z\cdot \cos y\,&2z+\sin y\end{array}}\right)}$

Anwendungen

• Ist die Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential ${\displaystyle Df_{a}}$ an der Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in U}$ die lineare Abbildung

${\displaystyle Df_{a}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad Df_{a}(h)=J_{f}(a)\cdot h}$.

Die Jacobi-Matrix an der Stelle ${\displaystyle a}$ ist also die Abbildungsmatrix von ${\displaystyle Df_{a}}$.

• Für ${\displaystyle m=1}$ entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von ${\displaystyle f}$. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.

• Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von ${\displaystyle f}$ in der Nähe von ${\displaystyle a}$ verwendet werden:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+J_{f}(a)\cdot (x-a).}$

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

• Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: ${\displaystyle V_{f}=J\cdot V_{x}\cdot J^{\text{T}}}$

Determinante der Jacobi-Matrix

Sei ${\displaystyle m=n}$, es wird also eine differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{f}(a)}$ am Punkt ${\displaystyle a\in U}$ eine quadratische ${\displaystyle n\times n}$-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix ${\displaystyle \det(J_{f}(a))}$ bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt ${\displaystyle a}$ ungleich null, so ist die Funktion ${\displaystyle f}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle a}$ invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist ${\displaystyle m\neq n}$, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der ${\displaystyle m\times n}$-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.

Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion

Neben Funktionen ${\displaystyle f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ kann man auch Funktionen ${\displaystyle h\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion ${\displaystyle h:=(h_{1},\ldots ,h_{m})\colon V\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine ${\displaystyle m\times n}$ mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine ${\displaystyle 2m\times 2n}$-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die ${\displaystyle m\times n}$-Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z)}$ am Punkt ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ist durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {C} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{1}(z)}{\partial z_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial h_{m}(z)}{\partial z_{n}}}\end{pmatrix}}}$

definiert.

Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen ${\displaystyle u,v\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, sodass ${\displaystyle h=u+iv}$ gilt. Die Funktionen ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien ${\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$ die Koordinaten in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ und setze ${\displaystyle z_{j}:=x_{j}+iy_{j}}$ für alle ${\displaystyle j}$. Die ${\displaystyle 2m\times 2n}$-Jacobi-Matrix ${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z)}$ der holomorphen Funktion ${\displaystyle h}$ am Punkt ${\displaystyle z\in V}$ ist dann definiert durch

${\displaystyle J_{h}^{\mathbb {R} }(z):={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial u_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\\{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{1}(z)}{\partial y_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial v_{m}(z)}{\partial y_{n}}}\end{pmatrix}}}$.

Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen ${\displaystyle m=n}$, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich

${\displaystyle \det \left(J_{h}^{\mathbb {R} }(z)\right)=\left|\det(J_{h}^{\mathbb {C} }(z))\right|^{2}}$.

Siehe auch

• Mehrdimensionale Kettenregel
• Hesse-Matrix
• Gradient (Mathematik)

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).