Kegelschnitt

Kegelschnitte sind spezielle Kurven, die durch den Schnitt der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene entstehen. Die wichtigsten Kegelschnittarten (reguläre oder nicht ausgeartete Kegelschnitte) sind die Ellipse (mit dem Kreis als Sonderfall), die Parabel und die Hyperbel. Diese drei Haupttypen ergeben sich dann, wenn die Schnittebene nicht durch die Spitze des Kegels geht. Verläuft sie hingegen durch die Kegelspitze, so spricht man von ausgearteten Kegelschnitten.

Kegelschnitte haben viele charakteristische Eigenschaften, die als alternative Definitionen herangezogen werden können. Insbesondere werden Ellipse, Parabel und Hyperbel häufig in der zweidimensionalen Ebene ohne Rückgriff auf einen Kegel als Ortskurven definiert, die gewisse Bedingungen für die Abstände der Kurvenpunkte von Brennpunkten und Leitlinien erfüllen. Der Nachweis, dass diese Bedingungen bei regulären Kegelschnitten (im Sinne von Schnittkurven) tatsächlich gelten, lässt sich ohne Rechnung mithilfe der Dandelinschen Kugeln führen.

Ein Kegelschnitt kann als Spezialfall einer Quadrik angesehen werden, nämlich als Quadrik im zweidimensionalen Raum (in der Ebene). Er lässt sich also durch eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen beschreiben, das heißt durch eine Gleichung des Typs

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$.

Diese Gleichung wird deshalb auch als allgemeine Kegelschnitt(s)gleichung bezeichnet.

Einteilung der Kegelschnitte

Bei der Definition eines Kegelschnitts wird meist ein Doppelkegel vorausgesetzt. Als Mantellinien bezeichnet man die Geraden auf dem Doppelkegel, sie gehen alle durch die gemeinsame Spitze. Unter dem Öffnungswinkel des Doppelkegels versteht man den maximalen Winkel zwischen zwei Mantellinien.

Ausgeartete Kegelschnitte

Geht die Ebene durch die gemeinsame Spitze des Doppelkegels, so können mehrere Sonderfälle auftreten, die man als ausgeartete oder zerfallende Kegelschnitte bezeichnet.

• Sich schneidendes Geradenpaar
• Paralleles Geradenpaar
• Gerade
• Punkt
• Leere Menge

Bemerkung: In der höheren Geometrie (nämlich der projektiven Geometrie) gelten parallele Linien als Geraden, die sich in einem unendlich fernen Punkt schneiden. Fasst man diesen Punkt als Kegelspitze auf, wird der Zylinder zu einem Spezialfall des Kegels.

• 
  Sich schneidendes Geradenpaar als Kegelschnitt, ${\displaystyle \beta <\alpha }$
• 
  Paralleles Geradenpaar als Zylinderschnitt, ${\displaystyle a<r,}$
  ${\displaystyle a=r}$ ergibt Gerade (Mantellinie),
  ${\displaystyle a>r}$ ergibt leere Menge.
• 
  Gerade (${\displaystyle \beta =\alpha }$) und
  Punkt (${\displaystyle \beta >\alpha }$) als Kegelschnitte

Kegelschnitte als Ortskurven

Die regulären Kegelschnitte lassen sich auch als Ortskurven (geometrische Örter) beschreiben, also als Mengen von Punkten der Ebene mit bestimmten Eigenschaften.

Definition durch Abstände von den Brennpunkten

Ellipse und Hyperbel können mithilfe spezieller Punkte, der sogenannten Brennpunkte (hier mit ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ bezeichnet), definiert werden.

Die Punkte ${\displaystyle P}$ einer Ellipse sind dadurch gekennzeichnet, dass für sie die Abstandssumme konstant ist.

${\displaystyle |PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\quad {\text{(konstant)}}}$

Entsprechend sind die Punkte einer Hyperbel durch eine konstante Abstandsdifferenz bestimmt.

${\displaystyle ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\quad {\text{(konstant)}}}$

${\displaystyle a}$ ist dabei der Abstand eines Hauptscheitels vom Mittelpunkt (siehe Zeichnungen).

Kegelschnittgleichungen in Normalform

Wenn man Gleichungen von Kegelschnitten in kartesischen Koordinaten aufstellen will, ist es sinnvoll, die Symmetrieeigenschaften auszunutzen, um einfache Gleichungen zu erhalten. Das Koordinatensystem wird so gelegt, dass die Symmetrieachsen mit Koordinatenachsen übereinstimmen. Für Ellipse und Hyperbel folgt daraus, dass der Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Bei Parabeln wird die Gleichung am einfachsten, wenn der Scheitel als Ursprung genommen wird. Die folgende Auflistung enthält für die verschiedenen Typen solche Gleichungen (hier als Normalformen bezeichnet). Wegen ihrer Einfachheit eignen sich die Normalformen besonders gut für rechnerische Beweise von Kegelschnitteigenschaften.

Allgemeine Kegelschnittgleichung

Hauptachsentransformation

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$.

Es wird angenommen, dass es sich um eine Gleichung 2. Grades handelt. Damit ist der Fall ${\displaystyle A=B=C=0}$ ausgeschlossen, in dem die Gleichung eine Gerade oder die ganze euklidische Ebene oder die leere Menge beschreiben würde.

Im Folgenden soll gezeigt werden, wie eine beliebige Gleichung dieses Typs in eine der oben angegebenen Normalformen umgewandelt werden kann. Dieses Ziel lässt sich durch die sogenannte Hauptachsentransformation erreichen. Sie besteht aus zwei einzelnen Transformationen:

1. Drehung des Koordinatensystems zur Beseitigung des gemischten Glieds ${\displaystyle Bxy}$
2. Verschiebung des Nullpunktes (Translation) derart, dass – falls möglich – die linearen Terme ${\displaystyle Dx}$ und ${\displaystyle Ey}$ verschwinden

Auch die umgekehrte Reihenfolge ist möglich.

1. Schritt (Drehung)

Falls ${\displaystyle B\neq 0}$ gilt, wird das Koordinatensystem um einen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ gedreht. Der Ursprung ändert sich in diesem Schritt nicht. Die Drehung lässt sich beschreiben durch die Koordinatentransformation

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x'\cos \alpha -y'\sin \alpha ,\\y&=x'\sin \alpha +y'\cos \alpha .\end{aligned}}}$

Die Forderung, dass das gemischte Glied wegfallen soll, führt zur Bedingung

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {B}{A-C}}}$

für den Drehwinkel ${\displaystyle \alpha }$. Im Spezialfall ${\displaystyle A=C}$ ist die rechte Seite der Gleichung nicht definiert; dann ist ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$ zu setzen.

Die Gleichung des Kegelschnitts hat nun die Form

${\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$.

Eigentlich wären hier neue Bezeichnungen für Koeffizienten und Koordinaten nötig; aus Gründen der Einfachheit wird darauf verzichtet.

2. Schritt (Verschiebung)

Das Koordinatensystem wird so verschoben, dass eine möglichst einfache Gleichung entsteht.

Falls ${\displaystyle A\neq 0}$ ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term ${\displaystyle A\left(x+{\tfrac {D}{2A}}\right)^{2}}$ und damit zur Verschiebung ${\displaystyle x'=x+{\tfrac {D}{2A}}}$.

Falls ${\displaystyle C\neq 0}$ ist, führt eine quadratische Ergänzung zum Term ${\displaystyle C\left(y+{\tfrac {E}{2C}}\right)^{2}}$ und damit zur Verschiebung ${\displaystyle y'=y+{\tfrac {E}{2C}}}$.

Nach diesen beiden Schritten enthält die Kegelschnittgleichung (${\displaystyle x'}$ und ${\displaystyle y'}$ werden wieder durch ${\displaystyle x,y}$ ersetzt) nur noch maximal drei Summanden:

Fall 1: ${\displaystyle \quad ux^{2}+vy^{2}+w=0\quad }$ mit ${\displaystyle \quad u\neq 0,v\neq 0\quad }$ oder

Fall 2: ${\displaystyle \quad ux^{2}+vy+w=0\quad }$ oder ${\displaystyle \quad uy^{2}+vx+w=0\quad }$ mit ${\displaystyle \quad u\neq 0}$.

Fall 1

Aus der Gleichung ist sofort die Zentralsymmetrie zu erkennen. Folgende Kegelschnitte sind möglich:

• Ellipse, falls entweder ${\displaystyle u>0,v>0,w<0}$ oder ${\displaystyle u<0,v<0,w>0}$
• Hyperbel, falls entweder ${\displaystyle u>0,v<0,w\neq 0}$ oder ${\displaystyle u<0,v>0,w\neq 0}$
• Sich schneidende Geraden (durch den Ursprung)
• Punkt (Ursprung)
• Leere Menge

Fall 2

Im Fall 2 gibt es die folgenden Möglichkeiten:

• Parabel, falls ${\displaystyle u\neq 0,v\neq 0}$
• Parallele Geraden
• Gerade
• Leere Menge

Kegelschnitte durch gegebene Punkte

Kegelschnitt durch 5 Punkte

Da die 6 Koeffizienten der allgemeinen Kegelschnittgleichung nur bis auf einen Faktor eindeutig bestimmt sind, benötigt man für die Berechnung der Koeffizienten im Allgemeinen 5 Punkte bzw. 5 Gleichungen. Allerdings existiert nicht für jede Wahl der 5 Punkte ein entsprechender Kegelschnitt (Gegenbeispiel: 4 Punkte auf einer Geraden, 1 Punkt nicht auf der Geraden). Ein regulärer Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, Hyperbel) ist durch 5 Punkte eindeutig bestimmt, falls keine 3 dieser Punkte auf einer Geraden liegen. Eine elegante Formel dazu verwendet eine 6×6-Determinante:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1\\\end{vmatrix}}=0}$

Dabei sind ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4}),(x_{5},y_{5})}$ die vorgegebenen Punkte.

Beispiel: Der Kegelschnitt durch die 5 Punkte ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(-1,-1),(1,1)}$ hat nach Ausrechnen obiger Determinante die Gleichung ${\displaystyle -4x^{2}+4xy-4y^{2}+4=0}$ oder nach Vereinfachung ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}-1=0}$. Die Hauptachsentransformation erfolgt mit einer Drehung um ${\displaystyle 45^{\circ }}$. Eine Verschiebung ist nicht nötig. Der Kegelschnitt hat die transformierte Gleichung ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{2}-1=0}$ und ist eine Ellipse mit den Halbachsen ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle b={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}}$.

Kreis durch 3 Punkte

Ein Kreis ist schon durch 3 Punkte (nicht auf einer Geraden) eindeutig bestimmt. Die Gleichung erhält man durch die 4×4-Determinante

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}=0}$.

Scheitelgleichung eines regulären Kegelschnitts

Ein regulärer Kegelschnitt, der zur ${\displaystyle x}$-Achse symmetrisch ist und im Punkt ${\displaystyle (0,0)}$ einen Scheitel hat, lässt sich durch die Gleichung

• ${\displaystyle y^{2}=2px+(\varepsilon ^{2}-1)x^{2}\qquad }$ mit ${\displaystyle p>0,\,\varepsilon \geq 0}$

beschreiben (zum Beweis siehe Leitlinieneigenschaft der Ellipse bzw. der Hyperbel).

${\displaystyle 2p}$ ist dabei die Weite des Kegelschnitts, gemessen am Brennpunkt senkrecht zur ${\displaystyle x}$-Achse. ${\displaystyle p}$ ist der Halbparameter, zugleich der Krümmungskreisradius im Scheitel ${\displaystyle (0,0)}$. ${\displaystyle \varepsilon }$ bezeichnet die numerische Exzentrizität.

Für ${\displaystyle \varepsilon =0}$ erhält man einen Kreis, für ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ eine Ellipse, für ${\displaystyle \varepsilon =1}$ eine Parabel und für ${\displaystyle \varepsilon >1}$ eine Hyperbel.

Für Ellipsen und Hyperbeln gilt ${\displaystyle \varepsilon =e/a}$, wobei ${\displaystyle a}$ die große Halbachse bzw. die halbe Hauptachse bezeichnet und ${\displaystyle e}$ die lineare Exzentrizität. Im Fall einer Ellipse ist ${\displaystyle (a,0)}$ der Mittelpunkt und ${\displaystyle (a-e,0)}$ ein Brennpunkt. Im Fall einer Hyperbel ist ${\displaystyle (-a,0)}$ der Mittelpunkt und ${\displaystyle (e-a,0)}$ ein Brennpunkt. Im Fall einer Parabel ist ${\displaystyle ({\tfrac {p}{2}},0)}$ der Brennpunkt. Für den Kreis (mit ${\displaystyle \varepsilon =0}$) liegt der Mittelpunkt bei ${\displaystyle (p,0)}$ und der Radius ist ${\displaystyle p}$.

Direkte Herleitung einer Kegelschnittgleichung

Die Scheitelgleichung eines Kegelschnitts kann auch direkt hergeleitet werden. Der (Doppel-)Kegel sei durch den Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {s}}}$ der Spitze, den Achseneinheitsvektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und den halben Öffnungswinkel ${\displaystyle \alpha }$ gegeben. Der Winkel zwischen der Ebene des Kegelschnitts und der Kegelachse sei mit ${\displaystyle \beta }$ bezeichnet, der Abstand zwischen Kegelspitze und Ebene mit ${\displaystyle s_{z}}$. Im Falle eines regulären Kegelschnitts gilt ${\displaystyle s_{z}>0}$.

Bezeichnet man den Ortsvektor eines Punktes auf dem einfachen Kegel mit ${\displaystyle {\vec {r}}}$, so lässt sich mithilfe des Skalarprodukts die folgende Bedingung aufstellen.

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {s}})\cdot {\vec {a}}=|{\vec {r}}-{\vec {s}}|\,|{\vec {a}}|\cos \alpha =|{\vec {r}}-{\vec {s}}|\cos \alpha }$

Die entsprechende Bedingung für Punkte auf dem Doppelkegel folgt durch beidseitiges Quadrieren:

${\displaystyle (({\vec {r}}-{\vec {s}})\cdot {\vec {a}})^{2}=|{\vec {r}}-{\vec {s}}|^{2}\cos ^{2}\alpha =({\vec {r}}-{\vec {s}})\cdot ({\vec {r}}-{\vec {s}})\cos ^{2}\alpha }$

Das räumliche Koordinatensystem wird so festgelegt, dass die xy-Ebene mit der gegebenen Ebene übereinstimmt. Als vorläufiger Ursprung (${\displaystyle O}$) dient der Fußpunkt des Lotes von der Kegelspitze ${\displaystyle S}$ auf die Ebene. Es wird angenommen, dass ${\displaystyle S}$ auf der positiven z-Achse liegt und die Kegelachse in der xz-Ebene. Die Vektoren ${\displaystyle {\vec {s}}}$ und ${\displaystyle {\vec {a}}}$, die in der letzten Gleichung vorkommen, sind in diesem gedrehten Koordinatensystem gegeben durch

${\displaystyle {\vec {s}}={\begin{pmatrix}0\\0\\s_{z}\end{pmatrix}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\cos \beta \\0\\-\sin \beta \end{pmatrix}}}$.

Weil der Punkt ${\displaystyle R}$ nicht nur auf dem Doppelkegel, sondern auch in der Schnittebene (Gleichung ${\displaystyle z=0}$) liegen soll, gilt außerdem der Ansatz

${\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}}$.

Einsetzen in die obige Bedingung ergibt:

${\displaystyle (x\cos \beta +s_{z}\sin \beta )^{2}=(x^{2}+y^{2}+s_{z}^{2})\cos ^{2}\alpha }$

${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\beta +2s_{z}x\cos \beta \sin \beta +s_{z}^{2}\sin ^{2}\beta =x^{2}\cos ^{2}\alpha +y^{2}\cos ^{2}\alpha +s_{z}^{2}\cos ^{2}\alpha }$

${\displaystyle y^{2}\cos ^{2}\alpha =x^{2}(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha )+2s_{z}x\cos \beta \sin \beta +s_{z}^{2}(\sin ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha )}$

Um die x-Koordinaten der Hauptscheitel zu erhalten, setzt man die rechte Seite gleich null und löst nach ${\displaystyle x}$ auf. Im Falle einer Ellipse oder Hyperbel (${\displaystyle \alpha \neq \beta }$) ergibt sich eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {s_{z}(\cos \beta \sin \beta \pm \cos \alpha \sin \alpha )}{\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta }}}$.

Im Falle einer Parabel (${\displaystyle \alpha =\beta }$) ist die Gleichung linear mit der Lösung

${\displaystyle x_{S}={\frac {s_{z}}{\tan(2\alpha )}}}$.

Mithilfe der Koordinatentransformation ${\displaystyle x'=x-x_{2}}$ (Ellipse/Hyperbel) beziehungsweise ${\displaystyle x'=x-x_{S}}$ (Parabel) vereinfacht sich die letzte Gleichung zu

${\displaystyle y^{2}\cos ^{2}\alpha =x'^{2}(\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\alpha )+2s_{z}x'\cos \alpha \sin \alpha }$.

Die Transformation entspricht einer Verschiebung des Ursprungs in x-Richtung. In der Zeichnung ist der neue Ursprung mit ${\displaystyle O'}$ bezeichnet.

Division durch ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ liefert

${\displaystyle y^{2}=x'^{2}\left({\frac {\cos ^{2}\beta }{\cos ^{2}\alpha }}-1\right)+2s_{z}x'\tan \alpha }$.

Setzt man hier ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\cos \beta }{\cos \alpha }}}$ und ${\displaystyle p=s_{z}\tan \alpha }$, so ergibt sich die Scheitelgleichung

${\displaystyle y^{2}=(\varepsilon ^{2}-1)\,x'^{2}+2px'}$.

${\displaystyle \varepsilon }$ ist die numerische Exzentrizität des Kegelschnitts, ${\displaystyle p}$ der Halbparameter.

Weitere Kegelschnittgleichungen erhält man durch algebraische Umformungen.

Polargleichung eines regulären Kegelschnitts

Durch die Leitlinieneigenschaft (siehe oben) lassen sich die regulären Kegelschnitte, also Ellipse, Parabel und Hyperbel, auf einheitliche Weise beschreiben:

${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=\varepsilon >0}$

Hier steht ${\displaystyle P}$ für einen beliebigen Punkt des Kegelschnitts, ${\displaystyle F}$ für einen (bzw. den) Brennpunkt und ${\displaystyle l}$ für eine (bzw. die) Leitlinie (Direktrix). ${\displaystyle \varepsilon }$ ist die numerische Exzentrizität. Die angegebene Bedingung drückt aus, dass für die Punkte des Kegelschnitts das Verhältnis von Brennpunktabstand und Leitlinienabstand konstant ist, nämlich gleich ${\displaystyle \varepsilon }$.

Die Leitlinieneigenschaft soll in Polarkoordinaten ausgedrückt werden. Als Pol (Ursprung) wird der Brennpunkt ${\displaystyle F}$ genommen, als Polarachse die positive x-Achse. Aus der Abbildung ist zu erkennen:

${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}={\frac {r}{r\cos \varphi +d}}=\varepsilon }$

Auflösen nach ${\displaystyle r}$ liefert zunächst ${\displaystyle r={\frac {\varepsilon d}{1-\varepsilon \cos \varphi }}}$. Mit ${\displaystyle p=\varepsilon d}$ erhält man die Polargleichung eines Kegelschnitts:

• ${\displaystyle r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}}$

Durch Einsetzen von ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}}$ erhält man ${\displaystyle r=p}$. Dies zeigt, dass ${\displaystyle p}$ der Halbparameter des Kegelschnitts ist, also die halbe Breite des Kegelschnitts am Brennpunkt.

Wählt man den Halbparameter ${\displaystyle p}$ fest, so ergeben sich Kegelschnitte mit dem Nullpunkt als gemeinsamem Brennpunkt, und zwar

für ${\displaystyle \varepsilon =0}$ der Kreis mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M=(0,0)}$ und dem Radius ${\displaystyle p}$,

für ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ die Ellipse mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M=(e,0)}$, der linearen Exzentrizität ${\displaystyle e={\frac {p\;\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}}$ und den Halbachsen ${\displaystyle a={\frac {e}{\varepsilon }},\ b={\sqrt {a^{2}-e^{2}}}}$,

für ${\displaystyle \varepsilon =1}$ die Parabel mit dem Scheitel ${\displaystyle S=(-{\frac {p}{2}},0)}$,

für ${\displaystyle \varepsilon >1}$ die Hyperbel mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle M=(-e,0)}$, der linearen Exzentrizität ${\displaystyle e={\frac {p\;\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}}$ und den Halbachsen ${\displaystyle a={\frac {e}{\varepsilon }},\ b={\sqrt {e^{2}-a^{2}}}}$.

Kegelschnittbüschel

Sind die Gleichungen ${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0}$ zweier Kegelschnitte gegeben, so lassen sich durch die Linearkombination

• ${\displaystyle a_{1}f_{1}(x,y)+a_{2}f_{2}(x,y)=0}$

der Gleichungen neue Kegelschnitte erzeugen. Da proportionale Paare ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ und ${\displaystyle (ta_{1},ta_{2})}$ äquivalente Gleichungen ergeben und daher zum selben Kegelschnitt gehören, schreibt man die Linearkombination oft so:

• ${\displaystyle (1-\mu )f_{1}(x,y)-\mu f_{2}(x,y)=0}$

Diese Gleichung beschreibt in eindeutiger Weise durch den Parameter ${\displaystyle \mu }$ jeweils einen Kegelschnitt.

Beispiel Kreisbüschel:

Für die zwei Kreisgleichungen

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y)&=(x-2)^{2}+y^{2}-1=0\\f_{2}(x,y)&=(x+2)^{2}+y^{2}-1=0\end{aligned}}}$

beschreibt ${\displaystyle (1-\mu )f_{1}(x,y)-\mu f_{2}(x,y)=0}$ mit ${\displaystyle \mu \neq 1/2}$ ein Büschel von Kreisen (s. Bild). Für ${\displaystyle \mu =1/2}$ heben sich die quadratischen Terme auf und es ergibt sich die Gerade ${\displaystyle x=0}$.

Beispiel Kegelschnittbüschel durch 2 Punkte mit vorgegebenen Tangenten:

Das folgende Beispiel baut aus drei Geraden ${\displaystyle g_{0},g_{1},g_{2}}$ ein Büschel von Kegelschnitten auf. Es sei:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}\colon \;&f_{0}(x,y)=y=0\\g_{1}\colon \;&f_{1}(x,y)=y/2-x-1=0\\g_{2}\colon \;&f_{2}(x,y)=y/2+x-1=0\end{aligned}}}$

Dann beschreibt die Gleichung

${\displaystyle (1-\mu )f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)-\mu f_{0}(x,y)^{2}=0}$

mit dem Scharparameter ${\displaystyle \mu }$ ein Büschel von Kegelschnitten durch die beiden Schnittpunkte ${\displaystyle P_{1}}$ (Schnitt von ${\displaystyle g_{0}}$ und ${\displaystyle g_{1}}$) und ${\displaystyle P_{2}}$ (Schnitt von ${\displaystyle g_{0}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$). Jeder Kegelschnitt berührt die beiden Geraden ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ in diesen Punkten. Das Kegelschnittbüschel ist also durch die beiden Punkte ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ und die beiden Tangenten ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ in diesen Punkten bestimmt (ein Kegelschnitt ist immer durch 5 Vorgaben eindeutig bestimmt!). Beide Kegelschnitte, aus denen die Linearkombination gebildet wird, sind ausgeartete Kegelschnitte (${\displaystyle f_{1}f_{2}=0}$ ist ein Geradenpaar und ${\displaystyle f_{0}^{2}=0}$ ist eine Doppelgerade).

Beispiel Kegelschnittbüschel durch 4 Punkte:

In diesem Fall ist das Büschel eine Linearkombination zweier paralleler Geradenpaare, die sich in den 4 Punkten ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$ schneiden (siehe Bild):

${\displaystyle a_{1}(x^{2}-1)+a_{2}(y^{2}-1)=0}$

Durch jeden Punkt der Ebene, der von den Grundpunkten des Büschels verschieden ist, geht genau ein (eventuell ausgearteter) Kegelschnitt des Büschels. Beispielsweise erhält man zum Nullpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ für ${\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=-1}$ das Geradenpaar ${\displaystyle y^{2}=x^{2}}$.

Kegelschnittbüschel werden in der Literatur ausführlich untersucht.

Äquivalenz von regulären Kegelschnitten

Verallgemeinerungen

Beispiele und Anwendungen

Die beim Zweikörperproblem der Himmelsmechanik betrachteten Bahnen (Keplerbahnen) der Himmelskörper sind Kegelschnitte.

Das Bild der Tagesbahn der Sonne auf dem Zifferblatt einer Sonnenuhr ist ein Kegelschnitt (meistens eine Hyperbel).

Im Bauwesen werden als Rotationsellipsoide, Paraboloide oder Hyperboloide geformte Bauteile (Dächer, Säulen und anderes) verwendet.

Lichtreflektoren in Scheinwerfern und Teleskopen werden als Rotationsellipsoide (für Autoscheinwerfer), als Paraboloide und als Hyperboloide (für Spiegelteleskope) geformt.

In der Darstellenden Geometrie treten Kegelschnitte als Bilder von Kreisen bei Parallel- und Zentralprojektionen auf. Siehe Ellipse (Darstellende Geometrie).

Geschichte

Apollonios von Perge und Pappos von Alexandria

Der größte Fortschritt beim Studium der Kegelschnitte durch die alten Griechen ist Apollonios von Perge (gest. etwa 190 v. Chr.) zu verdanken, dessen achtbändiges Werk Konika (Über Kegelschnitte) das vorhandene Wissen zusammenfasste und deutlich erweiterte. Unter anderem befasste sich Apollonios mit der Erzeugung von Kegelschnitten (Buch I) und mit deren Brennpunkten (Buch III).

Die Erkenntnisse von Apollonios über die Eigenschaften dieser Kurven machten es möglich zu zeigen, dass jede Ebene, die einen gegebenen Doppelkegel schneidet, zu einem Kegelschnitt im Sinne der früheren Definition (Menaichmos) führt – unabhängig vom Winkel. Dies entspricht der heute üblichen Definition. Auch Kreise, die mit der früheren Methode nicht konstruierbar waren, konnte man auf diese Weise erhalten. Das mag der Grund dafür gewesen sein, dass Apollonios Kreise als vierten Typ von Kegelschnitten auffasste, während heute der Kreis als Spezialfall der Ellipse betrachtet wird. Apollonios verwendete die Bezeichnungen Ellipse, Parabel und Hyperbel für die regulären Kegelschnitte. Diese Terminologie übernahm er von einer früheren Arbeit der Pythagoreer über Flächen.

Pappos von Alexandria (gest. etwa 350 n. Chr.) wird die Erläuterung der Begriffe „Brennpunkt“ und „Leitlinie“ zugeschrieben, auch für den Fall der Parabel, der in den bekannten Werken des Apollonios fehlt.

Europa

Johannes Kepler erkannte bei der Analyse von Beobachtungsdaten zur Marsbahn, dass die Planeten sich auf Ellipsen bewegen, wobei die Sonne in einem der beiden Brennpunkte ruht.

Gérard Desargues und Blaise Pascal entwickelten eine Theorie der Kegelschnitte, wobei sie eine frühe Form der projektiven Geometrie benutzten. Ihre Erkenntnisse gaben Anstoß zum Studium dieses neuen Gebiets. Insbesondere fand Pascal einen Satz über Sehnensechsecke in Kegelschnitten (Satz von Pascal), der auch als hexagrammum mysticum bekannt ist. Aus diesem Satz können viele weitere Eigenschaften von Kegelschnitten hergeleitet werden.

René Descartes und Pierre de Fermat wandten die neu entwickelte analytische Geometrie zur Untersuchung der Kegelschnitte an. Das hatte den Effekt, dass geometrische Probleme im Zusammenhang mit Kegelschnitten auf algebraische Probleme zurückgeführt wurden. Es war jedoch John Wallis in seiner Abhandlung Tractatus de sectionibus conicis von 1655, der zuerst die Kegelschnitte als Lösungen von Gleichungen 2. Grades definierte.

Johan de Witts Elementa curvarum linearum, früher geschrieben, aber später veröffentlicht, beginnt mit Keplers kinematischer Konstruktion der Kegelschnitte und entwickelt dann deren algebraische Gleichungen. Diese Arbeit, die Fermats Methodik und Descartes’ Schreibweise verwendet, gilt als erstes Lehrbuch zum Thema „Kegelschnitte“. Der Begriff Direktrix (Leitlinie) wurde von de Witt eingeführt.

Siehe auch

• Kegelschnitte als rationale Bézierkurven
• Konfokale Kegelschnitte
• Fokalkegelschnitt
• Formelsammlung analytische Geometrie

Weblinks

Commons: Kegelschnitte – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kegelschnitt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Kegelschnitte. (Memento vom 5. März 2016 im Internet Archive). Universität Wien.
• Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF) S. 12–16, abgerufen am 11. September 2026 (Kurzskript, Technische Universität Darmstadt). 
• Erich Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (CDKG). (PDF) Abgerufen am 11. September 2026 (Technische Universität Darmstadt). 
• Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte. Abgerufen am 11. September 2026. 
• John Casey: A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle and conic sections. 1893, abgerufen am 11. September 2026 (englisch). 
• Adam Coffman: Linear Systems of Conics. Abgerufen am 11. September 2026 (englisch). 

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
• Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II, Teubner-Verlag Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 338.
• Karl Rohn, Erwin Papperitz: Kegelschnitte, Flächen zweiten Grades, regel-, abwickelbare und andere Flächen, Flächenkrümmung. In: Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3., umgearb. Aufl. De Gruyter Verlag, Berlin/Leipzig 1906, Reprint 2020. ISBN 978-3-11-238373-5.
• Hans Schupp: Kegelschnitte. Bibliographisches Institut-Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1988, ISBN 978-3-411-03208-2.

Anmerkungen

1. ↑ Im Falle der Ellipse und der Parabel würde allerdings auch eine „Hälfte“ des Doppelkegels ausreichen.
2. ↑ Manche Autoren setzen vor die Koeffizienten B, D und E den Faktor 2. Dadurch lassen sich in einigen Formeln Brüche mit dem Nenner 2 vermeiden.
3. ↑ Bei dieser Aussage werden die Zylinderschnitte zu den Kegelschnitten gezählt.
4. ↑ Der Winkel ${\displaystyle \alpha }$ ist durch diese Gleichung nicht eindeutig bestimmt. Er muss so gewählt werden, dass das Vorzeichen von ${\displaystyle \sin(2\alpha )}$ mit dem Vorzeichen von ${\displaystyle B}$ übereinstimmt.
5. ↑ Der Kreis als Spezialfall der Ellipse mit ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ist hier ausgeschlossen.
6. ↑ Diese Gleichung gilt auch für Kreise (${\displaystyle \varepsilon =0}$), die zunächst ausgeschlossen waren.
7. ↑ Diese Interpretation von Plutarchs Aussage wird jedoch inzwischen kritisiert (Boyer 2004, S. 14, Fußnote 14).

Einzelnachweise

1. ↑ Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-50322-5, S. 241. 
2. ↑ Schülerduden Die Mathematik II (11.–13. Schuljahr). 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 197. 
3. ↑ Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1977, S. 325 f.
4. 1 2 Adolf Hess: Die allgemeine Gleichung 2. Grades mit zwei Variablen. In: Analytische Geometrie für Studierende der Technik und zum Selbststudium. Springer, Berlin/Heidelberg 1925, ISBN 3-662-01351-7, S. 105–110 (springer.com [abgerufen am 16. August 2026]). 
5. ↑ Maximilian Ganster, Universität Graz: Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte). Abgerufen am 9. September 2026. 
6. 1 2 3 4 Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder, Gerd Falk: dtv-Atlas Mathematik. 12. Auflage. Band 1. Deutscher Taschenbuch Verlag, 2001, ISBN 3-423-03007-0, S. 197 (Schreibweise angepasst). 
7. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 227 (Bezeichnungen und Schreibweise abweichend). 
8. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 212 (Formel (3.356a), Bezeichnungen angepasst). 
9. 1 2 Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 213–214 (Tabellen 3.19 und 3.20, Bezeichnungen angepasst). 
10. ↑ Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer, Berlin, ISBN 3-540-59188-5, S. 309. 
11. ↑ Karl Rottmann: Mathematische Formelsammlung. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 1998, ISBN 3-86025-462-6, S. 53. 
12. ↑ Kegelschnitt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band 3. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5. 
13. ↑ Zum Beispiel Barry Spain: Analytical Conics. Dover Publications, 2007, ISBN 0-486-45773-7, S. 91 (englisch). 
14. ↑ Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF) S. 12, abgerufen am 9. September 2026 (Kurzskript, Technische Universität Darmstadt (180 kB)). 
15. ↑ Quadrik. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2002, ISBN 3-8274-0436-3. 
16. ↑ Siegfried Wetzel: Sonnenuhr und Kegelschnitte. Abgerufen am 9. September 2026. 
17. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Band 1, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0. 
    1. ↑ S. 181.
    2. ↑ S. 202.
    3. ↑ S. 203.
    4. ↑ S. 414.
18. Carl B. Boyer: History of Analytic Geometry. Dover 2004, ISBN 0-486-43832-5 (englisch, Erstausgabe: 1956). 
    1. ↑ S. 17–18.
    2. ↑ S. 18.
    3. ↑ S. 36.
    4. ↑ S. 110.
    5. 1 2 S. 114.
19. Victor J. Katz: A History of Mathematics. An Introduction. 2. Auflage. Addison Wesley Longman, 1998, ISBN 0-321-01618-1 (englisch). 
    1. ↑ S. 117.
20. ↑ T. L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Band I. Dover 1956, S. 16 (englisch). 
21. Howard Eves: A Survey of Geometry. Band 1. Allyn and Bacon, Boston 1963 (englisch). 
    1. ↑ S. 28.
    2. ↑ S. 30.
22. ↑ Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections. Hrsg.: Thomas L. Heath. Cambridge University Press, Cambridge 2013 (englisch, google.com [abgerufen am 25. August 2026]). 
23. ↑ Howard R. Turner: Science in Medieval Islam: An Illustrated Introduction. University of Texas Press, 1997, ISBN 0-292-78149-0, S. 53 (englisch, google.com [abgerufen am 21. August 2026]). 
24. ↑ Carl Benjamin Boyer, Uta Merzbach: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey 1968, S. 219 (englisch, google.com [abgerufen am 21. August 2026]). 
25. ↑ Bartel Leendert van der Waerden: Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Springer, Berlin/Heidelberg 1983, S. 73 (englisch, google.com [abgerufen am 21. August 2026]). 
26. ↑ Nathan Sidoli, Glen Van Brummelen: From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-36736-6, S. 110 (englisch). 
27. ↑ Bartel Leendert van der Waerden: A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-51599-6, S. 29. 
28. ↑ John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, S. 30 (englisch, google.com [abgerufen am 22. August 2026]). 

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