Lie-Algebroid

In der Mathematik ist der Begriff des Lie-Algebroids eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Algebra, der es ermöglicht, Fragen über Lie-Gruppoide zu lokalisieren.

Definition

Ein Lie-Algebroid ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$ besteht aus

• einem Vektorbündel ${\displaystyle A\to M}$ über einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$,
• einer Lie-Klammer ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ auf dem Raum der Schnitte ${\displaystyle \Gamma (A)}$,
• einem Vektorbündelmorphismus ${\displaystyle \rho :A\rightarrow TM}$, dem sogenannten Anker, wobei ${\displaystyle TM}$ das Tangentialbündel von ${\displaystyle M}$ ist,

so dass der Anker und die Lie-Klammer die Leibniz-Regel

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]}$

für beliebige ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (A),f\in C^{\infty }(M)}$ erfüllen. Hier ist ${\displaystyle \rho (X)f}$ die Lie-Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach dem Vektorfeld ${\displaystyle \rho (X)}$.

Beispiele

• Das Tangential-Lie-Algebroid einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist das Tangentialbündel ${\displaystyle TM}$ mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern und der Identität als Anker.
• Eine Lie-Algebra ist ein Lie-Algebroid über dem Punkt.
• Ein Bündel von Lie-Algebren ist ein Lie-Algebroid mit punktweise definierter Lie-Klammer und der Nullabbildung als Anker.
• Für die Wirkung einer Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ definiert man das Wirkungsgruppoid als ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times M\to M}$ mit der Wirkungsabbildung als Anker und der durch die Klammer auf konstanten Schnitten und die Leibniz-Regel eindeutig festgelegten Lie-Klammer.
• Für ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle P\to M}$ definiert man das Atiyah-Algebroid als ${\displaystyle TP/G}$.

Weblinks

• Lie algebroid (nLab)
• E. Meinrenken: Lie algebroids