Lie-Gruppoid

In der Mathematik ist das Lie-Gruppoid eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Gruppe.

Definition

Ein Lie-Gruppoid ist ein Gruppoid, dessen Menge von Objekten ${\displaystyle G_{0}}$ und Mengen von Morphismen ${\displaystyle G_{1}=\bigcup _{x,y\in G_{0}}G(x,y)}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, dessen Strukturabbildungen ${\displaystyle comp\colon G(x,y)\times G(y,z)\to G(x,z)}$ und ${\displaystyle inv\colon G(x,y)\to G(y,x)}$ für alle ${\displaystyle x,y,z\in G_{0}}$ differenzierbare Abbildungen und dessen durch Quell- und Zielabbildungen ${\displaystyle s,t\colon G_{1}\to G_{0}}$ surjektive Submersionen sind.

Beispiele

• Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ein Lie-Gruppoid mit ${\displaystyle X_{0}=\left\{*\right\}}$ und ${\displaystyle X_{1}=G}$. Die Strukturabbildungen ${\displaystyle comp}$ und ${\displaystyle inv}$ sind Multiplikation und Inversion in der Gruppe ${\displaystyle G}$.
• Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist ein Lie-Gruppoid mit ${\displaystyle X_{0}=X_{1}=M}$ und ${\displaystyle G(x,y)=\emptyset }$ für ${\displaystyle x\not =y}$ sowie ${\displaystyle G(x,x)=\left\{id_{x}\right\}}$ für alle ${\displaystyle x\in G_{0}}$.
• Eine differenzierbare Gruppenwirkung ${\displaystyle M\times G\to M}$ gibt ein Wirkungsgruppoid mit ${\displaystyle X_{0}=M,X_{1}=G\times M,s(g,x)=x,t(x,g)=gx,comp((g,x),(h,gx))=(x,hg),inv((g,x))=(g^{-1},gx)}$.
• Das Fundamentalgruppoid einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ besteht aus ${\displaystyle X_{0}=M}$ und den Homotopieklassen (bei die Randpunkte festlassenden Homotopien) von Wegen ${\displaystyle w\colon \left[0,1\right]\to M}$ als ${\displaystyle X_{1}}$, mit ${\displaystyle s(w)=w(0),t(w)=w(1)}$ sowie der Verknüpfung von Wegen (modulo Homotopie) als Komposition und der Umdrehung von Wegen (modulo Homotopie) als Inversion.

Weblinks

• Lie groupoid (nLab)