Lie-Gruppoid

In der Mathematik ist das Lie-Gruppoid eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Gruppe.

Definition

Ein Lie-Gruppoid ist ein Gruppoid, dessen Menge von Objekten $G_{0}$ und Mengen von Morphismen $G_{1} = ⋃_{x, y \in G_{0}} G (x, y)$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind, dessen Strukturabbildungen $c o m p : G (x, y) \times G (y, z) \to G (x, z)$ und $i n v : G (x, y) \to G (y, x)$ für alle $x, y, z \in G_{0}$ differenzierbare Abbildungen und dessen durch Quell- und Zielabbildungen $s, t : G_{1} \to G_{0}$ surjektive Submersionen sind.

Beispiele

Eine Lie-Gruppe $G$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_{0} = {*}$ und $X_{1} = G$ . Die Strukturabbildungen $c o m p$ und $i n v$ sind Multiplikation und Inversion in der Gruppe $G$ .
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Lie-Gruppoid mit $X_{0} = X_{1} = M$ und $G (x, y) = ∅︀$ für $x ≠ y$ sowie $G (x, x) = {i d_{x}}$ für alle $x \in G_{0}$ .
Eine differenzierbare Gruppenwirkung $M \times G \to M$ gibt ein Wirkungsgruppoid mit $X_{0} = M, X_{1} = G \times M, s (g, x) = x, t (x, g) = g x, c o m p ((g, x), (h, g x)) = (x, h g), i n v ((g, x)) = (g^{- 1}, g x)$ .
Das Fundamentalgruppoid einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ besteht aus $X_{0} = M$ und den Homotopieklassen (bei die Randpunkte festlassenden Homotopien) von Wegen $w : [0, 1] \to M$ als $X_{1}$ , mit $s (w) = w (0), t (w) = w (1)$ sowie der Verknüpfung von Wegen (modulo Homotopie) als Komposition und der Umdrehung von Wegen (modulo Homotopie) als Inversion.

Weblinks

Lie groupoid (nLab)