Liu Hui

π-Ungleichheit

Im Gegensatz zu Archimedes, der die Länge der Kanten eines regelmäßigen Polygon berechnete, stützte sich Liu Hui auf die Abschätzung der Fläche des Kreises und im nachfolgenden Schritt durch Ermittlung der Kreiszahl mit Hilfe der Wurzelfunktion. Am Beispiel eines 6-eckigen Polygons lässt sich zeigen, dass daraus die Fläche des 12-eckigen Polygons zu einem einfachen Rechteck zusammengesetzt werden kann. Ebenso kann die fehlende Fläche durch weitere rechtwinklige Dreiecke abgeschätzt werden. Damit kann die untere Schranke (einbeschriebenes Polygon) und die obere Schranke (umschreibendes Polygon) ermittelt werden.

In der Abbildung stellt die gelbe Fläche die Fläche eines ${\displaystyle N}$-Ecks dar, bezeichnet mit ${\displaystyle A_{N}}$ und die gelbe Fläche plus die grüne Fläche ergibt die Fläche eines ${\displaystyle 2N}$-Ecks, bezeichnet mit ${\displaystyle A_{2N}}$. Daher stellt die grüne Fläche die Differenz zwischen den Flächen des ${\displaystyle 2N}$-Ecks und des ${\displaystyle N}$-Ecks dar:

${\displaystyle D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.}$

Die rote Fläche ist gleich der grünen Fläche, ebenso wie ${\displaystyle D_{2N}}$. Somit gilt

Gelbe Fläche + grüne Fläche + rote Fläche = ${\displaystyle A_{2N}+D_{2N}.}$

Sei ${\displaystyle A_{C}}$ die Fläche des Kreises. Dann gilt

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Setzt man den Radius des Kreises gleich 1, so erhalten wir die π-Ungleichung von Liu Hui:

${\displaystyle A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.}$

Iterativer Algorithmus

Liu Hui ging von einem eingeschriebenen Sechseck aus. Sei ${\displaystyle M}$ die Länge einer Seite ${\displaystyle AB}$ des Sechsecks und ${\displaystyle r}$ der Radius des Kreises.

Halbiere ${\displaystyle AB}$ mit der Geraden ${\displaystyle OPC}$, dann wird ${\displaystyle AC}$ wird zu einer Seite des Zwölfecks (12-Eck), seine Länge sei ${\displaystyle m}$. Die Länge von ${\displaystyle PC}$ sei ${\displaystyle j}$ und die Länge von ${\displaystyle OP}$ sei ${\displaystyle G}$.

${\displaystyle APO}$ und ${\displaystyle APC}$ sind zwei rechtwinklige Dreiecke. Liu Hui wandte den Satz des Pythagoras wiederholt an:

${\displaystyle {}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=r-G=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}}$

Von hier aus gibt es nun eine Methode, um ${\displaystyle m}$ aus ${\displaystyle M}$ zu bestimmen, wodurch sich die Seitenlänge eines Polygons mit doppelt so vielen Seiten ergibt. Ausgehend von einem Sechseck konnte Liu Hui mit dieser Formel die Seitenlänge eines Zwölfecks bestimmen. Anschließend fuhr er wiederholt fort, um die Seitenlänge eines Zwanzigecks zu bestimmen, wenn die Seitenlänge eines Zwölfecks bekannt war. Dies konnte er so oft wie nötig rekursiv durchführen. Da er wusste, wie man die Fläche dieser Polygone bestimmt, konnte Liu Hui π approximieren.

Mit ${\displaystyle r=10}$ Einheiten erhielt er

Fläche des ${\displaystyle 96}$-Ecks ${\displaystyle {}A_{96}=313{\tfrac {584}{625}}}$

Fläche des ${\displaystyle 192}$-Ecks ${\displaystyle {}A_{192}=314{\tfrac {64}{625}}}$

Differenz des 96-Ecks und des 192-Ecks: ${\displaystyle {}D_{192}=314{\tfrac {64}{625}}-313{\tfrac {584}{625}}={\tfrac {105}{625}}}$

Aus Huis π-Ungleichheit folgt: ${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Mit ${\displaystyle r=10}$, ${\displaystyle A_{C}=100\times \pi }$ ergibt sich:

${\displaystyle {}314{\tfrac {64}{625}}<100\times \pi <314{\tfrac {64}{625}}+{\tfrac {105}{625}}}$, also ${\displaystyle {}314{\tfrac {64}{625}}<100\times \pi <314{\tfrac {169}{625}}}$

${\displaystyle {}3{,}141024<\pi <3{,}142704.}$

Hui nahm zunächst ${\displaystyle 3{,}14}$ als ausreichende Näherung für ${\displaystyle \pi }$ und drückte es als Quotient ${\displaystyle {\tfrac {157}{50}}}$ aus. Er wies darauf hin, dass dieser Wert ein wenig kleiner als ${\displaystyle \pi }$ war.

Liu Hui führte seine Berechnungen durch Ermittlung der Quadratwurzel aus und drückte seine Ergebnisse als Quotienten aus. Die iterative Vorgehensweise seines π-Algorithmus ist offensichtlich:

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,}$

wobei ${\displaystyle m}$ die Länge einer Seite des aus ${\displaystyle M}$ halbierten Polygons der nächsten Ordnung ist. Diese Berechnung wird wiederholt durchgeführt, wobei jeder Schritt nur eine Addition und eine Quadratwurzelberechnung erfordert.

Schnelle Methode

Die Berechnung von Quadratwurzeln mit chinesischen Rechenstäbchen war im 3. Jahrhundert keine leichte Aufgabe. Liu Hui entdeckte jedoch eine Abkürzung, indem er die Flächenunterschiede von aufeinanderfolgenden Polygonen verglich, und stellte fest, dass das Verhältnis der Flächenunterschiede ungefähr 1/4 betrug.

Sei ${\displaystyle D_{N}}$ die Differenz der Flächen eines ${\displaystyle N}$-Ecks und eines ${\displaystyle N/2}$-Ecks:

${\displaystyle D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,}$

Er fand:

${\displaystyle D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}}$ sowie ${\displaystyle D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}}$

Daraus folgerte er:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Fläche des Einheitskreises =

${\displaystyle A_{\infty }=A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,}$

wobei

${\displaystyle F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Das bedeutet, dass die Summe aller nachfolgenden überschüssigen Flächen ein Drittel von ${\displaystyle D_{192}}$ ist.

Fläche des Einheitskreises: ${\displaystyle A_{\infty }=\pi \times r^{2}\approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}}$ bzw. ${\displaystyle \pi ={\tfrac {A_{\infty }}{r^{2}}}\approx {\tfrac {3927}{1250}}=3{,}1416}$.

Liu Hui war mit diesem Ergebnis sehr zufrieden, da er durch die Berechnung eines 1536-Ecks dasselbe Ergebnis erhalten hatte und so die Fläche eines 3072-Ecks ermittelt hatte. Dies erklärt drei Fragen:

1. Warum er bei der Darstellung seines Algorithmus bei ${\displaystyle A_{192}}$ Halt machte: Weil er eine schnelle Methode entdeckt hatte, die Genauigkeit von π zu verbessern, wodurch er mit nur einem 96-Eck das gleiche Ergebnis wie mit einem 1536-Eck erzielte. Schließlich war die Berechnung von Quadratwurzeln mit dem Rechenstäbchen keine einfache Aufgabe. Mit der schnellen Methode musste er nur noch eine weitere Subtraktion, eine weitere Division (durch 3) und eine weitere Addition durchführen, anstatt vier weitere Quadratwurzelberechnungen.
2. Warum er es vorzog, π durch die Berechnung von Flächen statt von Umfangsmassen aufeinanderfolgender Polygone zu berechnen: Dies lag daran, dass die schnelle Methode Informationen über die Differenz der Flächen aufeinanderfolgender Polygone erforderte.
3. Wer war der wahre Verfasser des Absatzes war, der die Berechnung von ${\displaystyle \pi ={\tfrac {3927}{1250}}}$ enthält? Dieser berühmte Absatz begann mit „Ein Han-Dynastie-Bronzegefäß im Militärlager der Jin-Dynastie...“. Viele Gelehrte, darunter Yoshio Mikami und Joseph Needham, glaubten, dass der Absatz über den „Bronzegefäß aus der Han-Dynastie“ das Werk von Liu Hui und nicht, wie andere glaubten, von Zu Chongzhi sei, da eine starke Korrelation zwischen den beiden Methoden der Flächenberechnung bestehe und da kein einziges Wort zu Zus Ergebnis von 3,1415926 < π < 3,1415927 erwähnt werde, das er mittels eines 12288-Eckes erhalten hatte.