Die Logarithmische Gammaverteilung (auch Log-Gammaverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Heavy-tailed-Verteilung ist geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im extremen Großschadenbereich der Industrie-, Haftpflicht-, Rückversicherung.
Eine stetige Zufallsgröße mit den Parametern und genügt der logarithmischen Gammaverteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
besitzt. Ihre Verteilungsfunktion lautet dann
wobei die unvollständige Gammafunktion ist.
Für ergibt sich der Erwartungswert zu
Die Varianz ergibt sich für als
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man sofort den Variationskoeffizienten
Die Schiefe lässt sich für geschlossen darstellen als
Es existieren nur die Momente der Ordnung kleiner als .
Sind und unabhängige logarithmisch gammaverteilte Zufallsgrößen dann ist auch das logarithmisch gammaverteilt, und zwar
Allgemein gilt: Sind stochastisch unabhängig dann ist
Somit bildet die logarithmische Gammaverteilung eine multiplikative Faltungshalbgruppe in einem ihrer beiden Parameter.
In der Versicherungsmathematik wird die Verteilung der Anzahl der Schäden häufig mit Hilfe von Poisson-, negativ Binomial- oder logarithmisch verteilten Zufallsvariablen modelliert. Zur Beschreibung der Schadenshöhe eignen sich dagegen die Gamma-, logarithmische Gamma- oder logarithmische Normalverteilung.
Wenn die Zufallsvariable Gamma-verteilt ist, dann ist Log-Gamma-verteilt.
Die Paretoverteilung mit den Parametern und entspricht der Log-Gammaverteilung mit den Parametern und .
