Luzifer-Rätsel

Das Luzifer-Rätsel (auch unter anderen Namen bekannt) ist ein mathematisches Rätsel aus dem Bereich der Zahlentheorie, das von dem Mathematiker Hans Freudenthal veröffentlicht wurde.

Das Rätsel zeigt eindrucksvoll, wie bereits einfach formulierte und allgemein erscheinende Voraussetzungen der Ausgangspunkt zu komplexen mathematischen Überlegungen sein können und auch eine präzise und eindeutige Lösung liefern. Es ist deshalb recht weit verbreitet als Übungsaufgabe in der mathematischen Ausbildung oder als intelligentes Preisrätsel.

Das Rätsel

Es kursieren verschiedene Fassungen des Rätsels, die äußerlich inhaltlich identisch scheinen und sich lediglich in der textlichen Einkleidung unterscheiden würden. Eine verbreitete Fassung, die zur Bezeichnung „Luzifer-Rätsel“ führte, lautet in etwa folgendermaßen:

Die berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß und Leonhard Euler landen nach ihrem Tod in der Hölle. Luzifer verspricht ihnen die Freiheit, wenn sie die beiden ganzen Zahlen zwischen 1 und 100 (d.h. im Bereich {2,3,…,99}) erraten, die er sich ausgedacht hat. Er nennt Gauß das Produkt und Euler die Summe der beiden Zahlen; darauf entwickelt sich zwischen den Mathematikern folgender Dialog:

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

Euler: „Das war mir klar.“

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Unabhängig von der Frage, ob Gauß und Euler aus der Hölle entkommen, lautet die Aufgabe, allein aus diesen Angaben die beiden Ausgangszahlen zu ermitteln.

Als Freudenthal dieses Problem 1969 publizierte, war es schlichter und ohne Nennung von Personen formuliert. Eine Obergrenze der beiden gesuchten Zahlen, die nicht gleich sein sollten, gab er nicht an, sondern die Obergrenze der Summe mit 100 vor. Varianten des Rätsels und Lösungen seitdem, wie auch die obige Variante sind jedoch ohne diese Obergrenze ausgestattet worden und behaupten, dadurch ändere sich nichts am Lösungsweg, was allerdings mathematisch streng auf den von 1969 angegebenen so nicht vollständig zutrifft. Gleichwohl führt der gewöhnlich unerwähnt bleibende Zwischenschritt, dass die Summe beider Zahlen demzufolge höchstens 198 sein kann, zum gleichen Ergebnis.

Die Lösung

Die Aufgabe und deren Lösung stammen von 1969 und Folgejahre, sie sind also den historischen Personen Gauß und Euler nicht zuzuordnen. Letztlich verbirgt sich dahinter eine zahlentheoretische Übung.

Es gilt im allgemeinen Sinn: Die beiden gesuchten natürlichen Zahlen seien $a$ und $b$ , für beide gilt $1 < a, b < 100$ , Gauß kennt nur das Produkt $m = a \cdot b$ beider Zahlen, Euler nur die Summe $s = a + b$ ; Freudenthal 1969 ursprünglich $a + b < 100$

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

Gauß bestimmt zunächst die Primfaktorzerlegung von $m$ . Die Zahlen $a$ und $b$ kann er sofort bestimmen, wenn einer der folgenden Fälle eintritt:

$m$ lässt sich in genau zwei Primfaktoren zerlegen: Der eine Faktor ist $a$ , der andere $b$ (Vertauschung liefert keine prinzipiell andere Lösung, die Zahl 1 wurde in den Voraussetzungen ausgeschlossen).
Einer der Primfaktoren von $m$ ist größer als $50$ : Dieser Faktor muss bereits die eine der beiden gesuchten Zahlen sein; jede Multiplikation mit einem weiteren Faktor würde über $100$ hinausgehen (so das Original von Freudenthal 1969); es gilt jedoch allgemeiner, dass eine Zerlegung in mehr als zwei Primfaktoren (z. B. $2 \cdot 2 \cdot 53$ ) größer wird als die größte Summe, die $a$ und $b$ annehmen können (ist $s = 198$ ).
$m$ besteht aus der dritten Potenz einer Primzahl: Der Faktor $a$ wäre dann genau diese Primzahl und $b$ wäre $a^{2}$ .

Da Gauß die Zahlen zu diesem Zeitpunkt noch nicht kennt, kann keiner der drei Fälle vorliegen; die Primfaktorzerlegung von $m$ liefert also mindestens drei Faktoren, die alle kleiner als 50 und nicht alle gleich sind.

Euler: „Das war mir klar.“

Euler sieht aus der Summe $s$ , dass die oben genannten Fälle mit Sicherheit nicht vorliegen. Das schließt folgende Werte für $s$ aus:

$s = 198$ : Die einzige erlaubte Zerlegung der Summe mit Summanden kleiner $100$ ist $99 + 99$ . Gauß könnte die Lösung $a = b = 99$ aus der einzig erlaubten Zerlegung des Produkt $9801 = 99 \cdot 99$ mit Faktoren kleiner $100$ eindeutig herleiten.
$s = 197$ : Einzige Zerlegung ist $98 + 99$ , auch diesen Fall kann Gauß aus dem Produkt $9702$ eindeutig feststellen.
$54 < s < 197$ : In diesem Bereich könnte einer der beiden Summanden eine Primzahl von $53$ bis $97$ sein. Bei $s = 55$ besteht beispielsweise aus Eulers Sicht die Möglichkeit, dass $m = 2 \cdot 53 = 106$ ist, woraus Gauß mit Sicherheit auf $a = 2$ und $b = 53$ (oder umgekehrt) gekommen wäre.
$s < 55$ und gerade: Nach der Goldbachschen Vermutung könnten in diesem Fall die beiden Summanden Primzahlen (und dann notwendigerweise kleiner als $50$ ) sein. Zwar ist die Goldbachsche Vermutung nicht für alle geraden Zahlen bewiesen, der Bereich $s < 55$ ist aber längst überprüft.
$s = p + 2$ , wobei $p$ Primzahl ist (und $p < 50$ ): Diese Zahlen erlauben die Zerlegung in die Primzahlen $2$ und $p$ .
$s = 51$ : In diesem Fall ist eine Zerlegung $17 + 34$ möglich, die Gauß aus dem Produkt $578 = 17 \cdot 17 \cdot 2$ eindeutig ableiten kann ( $17 \cdot 17 = 289 > 100$ (Freudenthal 1969) bzw. $17 \cdot 17 = 289 > 198$ (allgemein) kommt als Lösungszahl nicht in Frage).

Als einzige mögliche Werte für $s$ bleiben Werte der folgenden Menge $S := {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}$ . Höchstens bei diesen kann Euler sicher sein, dass Gauß die Lösung nicht sofort aus dem Produkt ablesen kann. (Keine davon gehört zu dem dritten o. g. Fall: $m = a^{3}, s = a^{2} + a$ .)

Da alle Werte in $S$ ungerade sind, steht jetzt schon fest, dass eine der Zahlen $a$ und $b$ gerade ist, die andere ungerade. Ferner sind $a$ und $b$ in jedem Fall kleiner als $53$ .

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Gauß kann sein Produkt auf mehrere Arten zerlegen, von denen aber nur eine auch eine Summe in $S$ ergibt. Unter allen möglichen Fällen sind folgende Spezialfälle hervorzuheben:

$m$ enthält einen ungeraden Primfaktor und mehrfach den Faktor $2$ : Der ungerade Faktor ist die eine Lösungszahl, die andere ist eine Zweierpotenz. Das ist in diesem Fall die einzige Aufteilung, die eine gerade und eine ungerade Zahl ergibt.
$m$ enthält (als einen von mindestens drei) einen Primfaktor ab $29$ : Dieser Primfaktor ist dann zwingend eine der Lösungszahlen. Die Multiplikation dieses mit einem beliebigen anderen Faktor würde einen Wert über $53$ liefern.

Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Euler sieht, dass sich seine Summe nur auf eine einzige Weise zerlegen lässt, die einen der oben genannten Fälle liefert. Folgende Werte für $s$ scheiden aus, da Euler in diesen Fällen keine eindeutige Lösung bestimmen könnte:

Alle Werte ab $35$ : Diese lassen sich sowohl als $29 + b$ wie auch als $31 + b$ zerlegen, also zweimal nach dem Typ Spezialfall 2
$11$ : Zerlegung $7 + 4$ und $3 + 8$ (beides entspricht Spezialfall 1)
$23$ : Zerlegung $19 + 4$ und $7 + 16$ (ebenfalls zweimal Spezialfall 1)
$27$ : Zerlegung $23 + 4$ und $19 + 8$ (wieder in beiden Fällen Spezialfall 1)
$29$ : Zerlegung $13 + 16$ und $17 + 12$ (die erste ist Spezialfall 1, die zweite ist für Gauß eindeutig aus dem Produkt $17 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$ ablesbar, weil die einzig mögliche andere Aufteilung $51 \cdot 4$ die Summe $55$ liefert)

Damit bleibt der Wert $17$ . Gibt es tatsächlich eine (und nur eine) Zerlegung von $17$ , die Gauß eindeutig als Lösung identifizieren kann? Dazu müssen alle möglichen Zerlegungen geprüft werden:

$17 = 3 + 14 : m = 3 \cdot 14 = 2 \cdot 21$ ist für Gauß nicht eindeutig lösbar, da $2 + 21 = 23$ ebenfalls in $S$
$17 = 5 + 12 : m = 5 \cdot 12 = 20 \cdot 3$ ebenfalls nicht eindeutig ( $20 + 3 = 23$ in $S$ )
$17 = 7 + 10 : m = 7 \cdot 10 = 2 \cdot 35$ ebenso, wegen $37$ in $S$
$17 = 9 + 8 : m = 9 \cdot 8 = 24 \cdot 3$ ebenso, wegen $27$ in $S$
$17 = 11 + 6 : m = 11 \cdot 6 = 2 \cdot 33$ ebenso, wegen $35$ in $S$
$17 = 15 + 2 : m = 15 \cdot 2 = 6 \cdot 5$ ebenso, wegen $11$ in $S$

Es verbleibt damit $a = 13$ und $b = 4$ , eine Lösung, die dem obigen Spezialfall 1 entspricht. Dies ist tatsächlich die einzige Lösung, die alle Bedingungen erfüllt.

Probe

Mit Kenntnis der Lösungszahlen $4$ und $13$ kann die Situation der Mathematiker leichter nachvollzogen werden. Gauß wurde das Produkt $52$ mitgeteilt, Euler die Summe $17$ .

Zunächst zerlegt Gauß die Zahl $52$ in ihre möglichen Faktorenpaare:

$52 = 4 \cdot 13$ und $52 = 2 \cdot 26$

Welches der beiden Faktorenpaare zum Ergebnis führte, ist ihm noch nicht bekannt. Euler hat entweder die Summe $𝟏𝟕$ $(4 + 13)$ oder $𝟐𝟖$ $(2 + 26)$ erhalten.

Tabelle 1: Falls Euler die Summe 17 erhalten hat, kann diese aus den folgenden Summanden bestehen:

nach Vorgabe zerlegbar in	Produkt	mögliche Faktorenpaare
02 + 15	030	2 · 15 / 3 · 10 / 5 · 6
03 + 14	042	2 · 21 / 3 · 14 / 6 · 7
04 + 13	052	2 · 26 / 4 · 13
05 + 12	060	2 · 30 / 3 · 20 / 4 · 15 / 5 · 12 / 6 · 10
06 + 11	066	2 · 33 / 3 · 22 / 6 · 11
07 + 10	070	2 · 35 / 5 · 14 / 7 · 10
08 + 09	072	2 · 36 / 3 · 24 / 4 · 18 / 6 · 12 / 8 · 9

Tabelle 2: Falls Euler die Summe 28 erhalten hat, kommen folgende Summanden infrage:

nach Vorgabe zerlegbar in	Produkt	mögliche Faktorenpaare
02 + 26	052	2 · 26 / 4 · 13
03 + 25	075	3 · 25 / 5 · 15
04 + 24	096	2 · 48 / 3 · 32 / 4 · 24 / 6 · 16 / 8 · 12
05 + 23	115	5 · 23
06 + 22	132	2 · 66 / 3 · 44 / 4 · 33 / 6 · 22 / 11 · 12
07 + 21	147	3 · 49 / 7 · 21
08 + 20	160	2 · 80 / 4 · 40 / 5 · 32 / 8 · 20 / 10 · 16
09 + 19	171	3 · 57 / 9 · 19
10 + 18	180	2 · 90 / 3 · 60 / 4 · 45 / 5 · 36 / 6 · 30 / 9 · 20 / 10 · 18 / 12 · 15
11 + 17	187	11 · 17
12 + 16	192	2 · 96 / 3 · 64 / 4 · 48 / 6 · 32 / 8 · 24 / 12 · 16
13 + 15	195	3 · 65 / 5 · 39 / 13 · 15
14 + 14	196	2 · 98 / 4 · 49 / 7 · 28 / 14 · 14

Gauß: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“

Euler hat die Summe 17 erhalten. Er wusste bereits, dass Gauß diese nicht eindeutig faktorisieren kann: Keines der Faktorenpaare in Tabelle 1 ist eindeutig.

Euler: „Das war mir klar.“

Gauß schließt daraus, dass Euler nicht die Summe 28 erhalten hat. Euler hätte ansonsten die Möglichkeit in Betracht ziehen müssen, dass Gauß mit dem Produkt 115 oder 187 bereits über eine eindeutige Lösung verfügt.

Gauß: „Jetzt kenne ich die beiden Zahlen.“

Euler kann nun die in Tabelle 1 dargestellten Möglichkeiten prüfen und die gleiche Schlussfolgerung treffen.

Euler: „Dann kenne ich sie jetzt auch.“

Weblinks

Zahlenrätsel Hier gibt es noch eine schwierigere Version dieses Rätsels von Robert Sontheimer
Leicht nachvollziehbare programmiertechnische Lösung

Verweise

↑ Hans Freudenthal: Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3. Band 17, 1969, S. 152.
↑ The Impossible Puzzle (Memento vom 20. Dezember 2014 im Internet Archive)

[1] Hans Freudenthal: Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3. Band 17, 1969, S. 152.

[2] The Impossible Puzzle (Memento vom 20. Dezember 2014 im Internet Archive)